Etude de l'estimateur de Hill sous dépendance faible

Abstract

Le principal résultat de la théorie des valeurs extrêmes, est le théorème de Fisher-Tippett sur l'étude du comportement asymptotique du maximum d'un échantillon, les distributions limites peuvent être écrites en une seule famille de distribution appelée generalized extreme value (GEV), dépendante d'un seul paramètre À dit l'indice de queue. Divers estimateurs de cet indice ont été proposés dans la littérature dans le cas d'observations i.i.d : estimateur de Hill, estimateur de Pickands, estimateur des moments et d'autres variantes de l'estimateur de Hill, plusieurs études analysent les principales propriétés de consistance et de convergence asymptotique de ces estimateurs. Dans la réalité, nous sommes confrontés le plus souvent, à la modélisation de problèmes issus des données non indépendantes, ce qui a conduit à travailler dans le contexte de processus mélangeants. Etant donné que les coefficients de mélange sont souvent difficiles à calculer, et que certains processus bien classiques ne sont pas mélangeants, une nouvelle notion de dépendance faible a été introduite par Doukhan et Louhichi. Cette notion est plus générale que le cadre classique de mélange, association et modèles markoviens, elle est suffisamment large pour inclure plus de modèles standards. Dans cette thèse, nous avons étudié l'estimation du paramètre de queue, sous la dépendance faible au sens de Doukhan et Louhichi. Le comportement asymptotique de l'estimateur de Hill a été examiné par Rootzen, Resnick et Starica dans le cas du mélange fort. Nous relaxons cette hypothèse par la condition de mélange faible, nous établissons la normalité asymptotique de l'estimateur de Hill issu d'un processus linéaire À-faiblement dépendant.