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| Titre : | La simulation de monté carlo | | Type de document : | texte imprime | | Auteurs : | Bruno Tuffin | | Editeur : | Paris : Hermes science publ. | | Année de publication : | impr. 2010, cop. 2010 | | Collection : | Collection Méthodes stochastiques appliquées, 1956-6808 | | Importance : | 270 p. | | Présentation : | ill. | | Format : | 24 cm | | ISBN/ISSN/EAN : | 978-2-7462-2521-3 | | Note générale : | Bibliogr. p. [263]-267. Index | | Langues : | Français | | Mots-clés : | Méthode de Monte-Carlo:applications scientifiques Statistique mathématique Monte Carlo method | | Index. décimale : | 519.7 | | Résumé : | La simulation de Monte Carlo est un outil statistique puissant pour résoudre des problèmes mathématiques complexes ou plus exactement pour approcher leur solution aussi précisément que souhaité. Cet ouvrage décrit les principaux problèmes auxquels s'attaque la simulation de Monte Carlo : calcul de sommes ou d'intégrales, d'espérances mathématiques, de problèmes d'optimisation, de résolution d'équations linéaires, intégrales ou différentielles. La simulation de Monte Carlo est illustré de nombreux exemples d'application issus de domaines aussi variés que les télécommunications, la finance, la fiabilité, la physique, etc. Il expose comment les solutions peuvent être approchées et l'erreur analysée via un intervalle de confiance contenant la solution avec une probabilité donnée. Ce livre présente également les différentes techniques d'accélération réduisant l'intervalle de confiance pour un temps de simulation donné. D'autres questions fondamentales sont traitées comme la génération du hasard et des variables aléatoires ou la méthode de simulation de quasi-Monte Carlo qui utilise des suites non aléatoires mais mieux réparties sur le domaine d'échantillonnage, permettant une convergence plus rapide. | | Note de contenu : | Avant-propos 9
Chapitre 1. Introduction et concepts de base 11
1.1. Modélisation mathématique et probabiliste 11
1.2. Simulation : définition et algorithme de base 12
1.3. Pourquoi et quand utiliser la simulation de Monte Carlo ? 20
1.4. Exemples simples et illustratifs 22
1.4.1. Aiguille de Buffon 23
1.4.2. Calcul d'une surface 25
1.4.3. Intégrale d'une fonction unidimensionnelle 27
1.4.4. Simulation d'une file d'attente simple 30
1.5. Quelques exemples spécifiques dans des domaines d'application importants 33
1.5.1. Application en ingéniérie financière 33
1.5.2. Application en télécommunications/fiabilité 34
1.5.3. Application en physique 36
1.5.4. Application en biologie 36
1.6. Source d'aléatoire 37
Chapitre 2. Génération de variables aléatoires 39
2.1. Philosophie et objectifs 39
2.2. Génération d'une suite i.i.d. uniforme sur [0,1] 42
2.2.1. Générateurs congruentiels linéaires 42
2.2.2. Problèmes rencontrés par les générateurs congruentiels linéaires 44
2.2.3. Générateur MRG32k3a 46
2.2.4. Le générateur Mersenne-Twister 47
2.2.5. Un générateur de flots 49
2.3. Génération de lois non uniformes 50
2.3.1. Génération d'une loi discrète 50
2.3.2. Méthode d'alias 51
2.3.3. Transformation inverse pour une loi continue 54
2.3.4. Méthode de composition 57
2.3.5. Méthode de la convolution 58
2.3.6. Méthode de rejet 58
2.3.7. Quelques méthodes pour des lois spécifiques 59
2.3.8. Génération de variables aléatoires dépendantes 61
2.3.8.1. Echantillonnage conditionnel 61
2.3.8.2. Transformation linéaire 62
2.3.8.3. Copules 63
2.3.9. Algorithme de Metropolis 64
2.4. Tests des générateurs pseudo-aléatoires 67
2.4.1. Test spectral 68
2.4.2. Test du x2 70
2.4.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 73
Chapitre 3. Transformation sous forme d'espérance mathématique 77
3.1. Calcul de sommes 78
3.1.1. Calcul d'une espérance mathématique sur une loi discrète 79
3.1.2. Calcul de sommes discrètes en général 80
3.1.3. Illustration : estimation de constantes de normalisation dans les réseaux de files d'attente 82
3.1.4. Illustration : tableaux de contingence 85
3.2. Calcul d'intégrales 87
3.2.1. Calcul d'espérance mathématique de variable aléatoire de loi continue 87
3.2.2. Calcul d'intégrales 88
3.2.3. Calcul de surfaces ou volumes 89
3.3. Simulation d'une chaîne de Markov à temps discret 91
3.4. Simulation d'une chaîne de Markov à temps continu 95
3.5. Méthode de Monte Carlo par chaîne de Markov (MCMC) 101
3.6. Simulation d'un processus stochastique et des systèmes à événements discrets 105
3.7. Résolution d'un système d'équations linéaires 108
3.8. Résolution d'équations intégrales 112
3.9. Résolution d'équations différentielles 114
Chapitre 4. Analyse des résultats de simulation 117
4.1. Sur la vitesse de convergence du théorème central limite 119
4.2. Analyse des résultats pour une erreur absolue ou relative donnée 120
4.3. Intervalle de confiance pour un quotient ou une autre fonction régulière d'estimateurs 122
4.4. Analyse des résultats pour les chaînes de Markov 128
4.4.1. Analyse des résultats pour les mesures transitoires 129
4.4.2. Théorèmes limites centraux pour les chaînes de Markov 130
4.4.3. Méthode de réplication/délétion 132
4.4.4. Méthode régénérative 132
4.4.5. Méthode Batch Means 136
4.4.5.1. Nombre fixe de blocs 138
4.4.5.2. Règle SQRT (racine carrée) 138
4.4.5.3. Règle LBatch 139
4.4.5.4. Règle ABatch 140
4.4.5.5. Règle Skart 141
4.4.6. Méthode basée sur les séries temporelles 142
4.5. Méthode du bootstrap 143
4.6. Compromis variance/biais 144
4.7. Réduction du biais 148
4.8. Simulation avec budget fini 149
Chapitre 5. Techniques de réduction de la variance 151
5.1. Un cadre à l'accélération est nécessaire : simulation d'événements rares 151
5.2. Efficacité relative 156
5.3. Stratification 157
5.4. Monte Carlo et espérance conditionnelle 164
5.5. Variables antithétiques et corrélation négative 170
5.6. Variables de contrôle 177
5.7. Echantillonnage préférentiel 182
5.7.1. Formalisme général pour l'échantillonnage préférentiel 183
5.7.2. Changement de mesure optimal : estimateur à variance nulle et approximations 186
5.7.3. Echantillonnage préférentiel et chaînes de Markov à temps discret 188
5.7.4. Echantillonnage préférentiel et chaînes de Markov à temps continu 193
Chapitre 6. Simulation de Monte Carlo en optimisation 195
6.1. Introduction et classification des méthodes 195
6.2. Approximation stochastique 198
6.2.1. Estimation via un échantillon de chemins 198
6.2.2. Méthodes itératives : description générale 199
6.2.3. Estimation du gradient 199
6.2.3.1. Différences finies 199
6.2.3.2. Analyse par perturbations infinitésimales 201
6.2.3.3. Méthode du quotient de vraisemblance 202
6.2.4. Différents algorithmes d'approximation stochastique itérative 203
6.3. Méthodes d'exploration 205
6.3.1. Recuit simulé 205
6.3.2. Algorithme génétique 207
Chapitre 7. Méthodes de quasi-Monte Carlo 211
7.1. Peut-on battre Monte Carlo ? 211
7.2. Mesures d'équidistribution, discrépance 213
7.3. Suites à discrépance faible 216
7.3.1. Suites de Halton 216
7.3.2. Suites de Weyl 217
7.3.3. (t, s)-suites 218
7.3.4. Règles de quadrillage 221
7.4. Borne de l'erreur et vitesse de convergence 222
7.5. Méthodes de quasi-Monte Carlo randomisées 234
7.5.1. Intérêt pratique des bornes de l'erreur pour les méthodes de quasi-Monte Carlo 234
7.5.2. Différentes randomisations et convergence 236
7.5.2.1. Suites à discrépance faible shiftées (aussi dites translatées) 236
7.5.2.2. (t, s)-suites brouillées 242
7.5.2.3. Départ aléatoire des suites de Halton 244
Annexes 247
A. Eléments de base en probabilité et statistiques 247
A.1. Résultats généraux 247
A.2. Variables aléatoires discrètes 250
A.3. Variables aléatoires continues 252
A.4. Convergences et théorèmes limites 254
A.5. Chaînes de Markov à temps discret 255
A.6. Chaînes de Markov à temps continu 258
A.7. Mouvement Brownien 260
B. Liste des principales notations mathématiques 261
Bibliographie 263
Index 269
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La simulation de monté carlo [texte imprime] / Bruno Tuffin . - Paris : Hermes science publ., impr. 2010, cop. 2010 . - 270 p. : ill. ; 24 cm. - ( Collection Méthodes stochastiques appliquées, 1956-6808) . ISBN : 978-2-7462-2521-3 Bibliogr. p. [263]-267. Index Langues : Français | Mots-clés : | Méthode de Monte-Carlo:applications scientifiques Statistique mathématique Monte Carlo method | | Index. décimale : | 519.7 | | Résumé : | La simulation de Monte Carlo est un outil statistique puissant pour résoudre des problèmes mathématiques complexes ou plus exactement pour approcher leur solution aussi précisément que souhaité. Cet ouvrage décrit les principaux problèmes auxquels s'attaque la simulation de Monte Carlo : calcul de sommes ou d'intégrales, d'espérances mathématiques, de problèmes d'optimisation, de résolution d'équations linéaires, intégrales ou différentielles. La simulation de Monte Carlo est illustré de nombreux exemples d'application issus de domaines aussi variés que les télécommunications, la finance, la fiabilité, la physique, etc. Il expose comment les solutions peuvent être approchées et l'erreur analysée via un intervalle de confiance contenant la solution avec une probabilité donnée. Ce livre présente également les différentes techniques d'accélération réduisant l'intervalle de confiance pour un temps de simulation donné. D'autres questions fondamentales sont traitées comme la génération du hasard et des variables aléatoires ou la méthode de simulation de quasi-Monte Carlo qui utilise des suites non aléatoires mais mieux réparties sur le domaine d'échantillonnage, permettant une convergence plus rapide. | | Note de contenu : | Avant-propos 9
Chapitre 1. Introduction et concepts de base 11
1.1. Modélisation mathématique et probabiliste 11
1.2. Simulation : définition et algorithme de base 12
1.3. Pourquoi et quand utiliser la simulation de Monte Carlo ? 20
1.4. Exemples simples et illustratifs 22
1.4.1. Aiguille de Buffon 23
1.4.2. Calcul d'une surface 25
1.4.3. Intégrale d'une fonction unidimensionnelle 27
1.4.4. Simulation d'une file d'attente simple 30
1.5. Quelques exemples spécifiques dans des domaines d'application importants 33
1.5.1. Application en ingéniérie financière 33
1.5.2. Application en télécommunications/fiabilité 34
1.5.3. Application en physique 36
1.5.4. Application en biologie 36
1.6. Source d'aléatoire 37
Chapitre 2. Génération de variables aléatoires 39
2.1. Philosophie et objectifs 39
2.2. Génération d'une suite i.i.d. uniforme sur [0,1] 42
2.2.1. Générateurs congruentiels linéaires 42
2.2.2. Problèmes rencontrés par les générateurs congruentiels linéaires 44
2.2.3. Générateur MRG32k3a 46
2.2.4. Le générateur Mersenne-Twister 47
2.2.5. Un générateur de flots 49
2.3. Génération de lois non uniformes 50
2.3.1. Génération d'une loi discrète 50
2.3.2. Méthode d'alias 51
2.3.3. Transformation inverse pour une loi continue 54
2.3.4. Méthode de composition 57
2.3.5. Méthode de la convolution 58
2.3.6. Méthode de rejet 58
2.3.7. Quelques méthodes pour des lois spécifiques 59
2.3.8. Génération de variables aléatoires dépendantes 61
2.3.8.1. Echantillonnage conditionnel 61
2.3.8.2. Transformation linéaire 62
2.3.8.3. Copules 63
2.3.9. Algorithme de Metropolis 64
2.4. Tests des générateurs pseudo-aléatoires 67
2.4.1. Test spectral 68
2.4.2. Test du x2 70
2.4.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 73
Chapitre 3. Transformation sous forme d'espérance mathématique 77
3.1. Calcul de sommes 78
3.1.1. Calcul d'une espérance mathématique sur une loi discrète 79
3.1.2. Calcul de sommes discrètes en général 80
3.1.3. Illustration : estimation de constantes de normalisation dans les réseaux de files d'attente 82
3.1.4. Illustration : tableaux de contingence 85
3.2. Calcul d'intégrales 87
3.2.1. Calcul d'espérance mathématique de variable aléatoire de loi continue 87
3.2.2. Calcul d'intégrales 88
3.2.3. Calcul de surfaces ou volumes 89
3.3. Simulation d'une chaîne de Markov à temps discret 91
3.4. Simulation d'une chaîne de Markov à temps continu 95
3.5. Méthode de Monte Carlo par chaîne de Markov (MCMC) 101
3.6. Simulation d'un processus stochastique et des systèmes à événements discrets 105
3.7. Résolution d'un système d'équations linéaires 108
3.8. Résolution d'équations intégrales 112
3.9. Résolution d'équations différentielles 114
Chapitre 4. Analyse des résultats de simulation 117
4.1. Sur la vitesse de convergence du théorème central limite 119
4.2. Analyse des résultats pour une erreur absolue ou relative donnée 120
4.3. Intervalle de confiance pour un quotient ou une autre fonction régulière d'estimateurs 122
4.4. Analyse des résultats pour les chaînes de Markov 128
4.4.1. Analyse des résultats pour les mesures transitoires 129
4.4.2. Théorèmes limites centraux pour les chaînes de Markov 130
4.4.3. Méthode de réplication/délétion 132
4.4.4. Méthode régénérative 132
4.4.5. Méthode Batch Means 136
4.4.5.1. Nombre fixe de blocs 138
4.4.5.2. Règle SQRT (racine carrée) 138
4.4.5.3. Règle LBatch 139
4.4.5.4. Règle ABatch 140
4.4.5.5. Règle Skart 141
4.4.6. Méthode basée sur les séries temporelles 142
4.5. Méthode du bootstrap 143
4.6. Compromis variance/biais 144
4.7. Réduction du biais 148
4.8. Simulation avec budget fini 149
Chapitre 5. Techniques de réduction de la variance 151
5.1. Un cadre à l'accélération est nécessaire : simulation d'événements rares 151
5.2. Efficacité relative 156
5.3. Stratification 157
5.4. Monte Carlo et espérance conditionnelle 164
5.5. Variables antithétiques et corrélation négative 170
5.6. Variables de contrôle 177
5.7. Echantillonnage préférentiel 182
5.7.1. Formalisme général pour l'échantillonnage préférentiel 183
5.7.2. Changement de mesure optimal : estimateur à variance nulle et approximations 186
5.7.3. Echantillonnage préférentiel et chaînes de Markov à temps discret 188
5.7.4. Echantillonnage préférentiel et chaînes de Markov à temps continu 193
Chapitre 6. Simulation de Monte Carlo en optimisation 195
6.1. Introduction et classification des méthodes 195
6.2. Approximation stochastique 198
6.2.1. Estimation via un échantillon de chemins 198
6.2.2. Méthodes itératives : description générale 199
6.2.3. Estimation du gradient 199
6.2.3.1. Différences finies 199
6.2.3.2. Analyse par perturbations infinitésimales 201
6.2.3.3. Méthode du quotient de vraisemblance 202
6.2.4. Différents algorithmes d'approximation stochastique itérative 203
6.3. Méthodes d'exploration 205
6.3.1. Recuit simulé 205
6.3.2. Algorithme génétique 207
Chapitre 7. Méthodes de quasi-Monte Carlo 211
7.1. Peut-on battre Monte Carlo ? 211
7.2. Mesures d'équidistribution, discrépance 213
7.3. Suites à discrépance faible 216
7.3.1. Suites de Halton 216
7.3.2. Suites de Weyl 217
7.3.3. (t, s)-suites 218
7.3.4. Règles de quadrillage 221
7.4. Borne de l'erreur et vitesse de convergence 222
7.5. Méthodes de quasi-Monte Carlo randomisées 234
7.5.1. Intérêt pratique des bornes de l'erreur pour les méthodes de quasi-Monte Carlo 234
7.5.2. Différentes randomisations et convergence 236
7.5.2.1. Suites à discrépance faible shiftées (aussi dites translatées) 236
7.5.2.2. (t, s)-suites brouillées 242
7.5.2.3. Départ aléatoire des suites de Halton 244
Annexes 247
A. Eléments de base en probabilité et statistiques 247
A.1. Résultats généraux 247
A.2. Variables aléatoires discrètes 250
A.3. Variables aléatoires continues 252
A.4. Convergences et théorèmes limites 254
A.5. Chaînes de Markov à temps discret 255
A.6. Chaînes de Markov à temps continu 258
A.7. Mouvement Brownien 260
B. Liste des principales notations mathématiques 261
Bibliographie 263
Index 269
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La simulation de monté carlo (impr. 2010, cop. 2010)
