Titre :	Méthodes mathématiques et numériques pour les équations aux dérivées partielles : applications aux sciences de l'ingénieur
Type de document :	texte imprime
Auteurs :	Joël Chaskalovic
Editeur :	Paris : Tec & Doc
Année de publication :	2013
Autre Editeur :	Lavoisier
Importance :	(VII-376 p.)
Présentation :	graph., couv. ill. en coul.
Format :	25 cm
ISBN/ISSN/EAN :	978-2-7430-1480-3
Note générale :	Bibliogr. p. 371. Index
Langues :	Français
Mots-clés :	Équations aux dérivées partielles  Éléments finis, Méthode des  Approximation numérique  Mathématiques de l'ingénieur  Génie industriel  Analyse fonctionnelle
Index. décimale :	515.353
Résumé :	Qu’il s’agisse d’applications en physique ou en mécanique, en médecine ou en biologie, mais aussi en économie, dans les médias et en marketing, ou encore dans le domaine des finances, la traduction phénoménologique du système étudié conduit très souvent à la résolution d’équations différentielles ou aux dérivées partielles. Incontestablement, ce sont les éléments finis qui ont bouleversé le monde de l’approximation numérique des équations aux dérivées partielles. Cet ouvrage est composé de deux parties : la première est un abrégé de cours portant sur les outils de base de l’analyse mathématique des équations aux dérivées partielles et la seconde contient des problèmes corrigés qui abordent l’approximation par éléments finis des formulations variationnelles des problèmes aux limites elliptiques. Des applications en mécanique des solides déformables, à la résistance des matériaux, en mécanique des fluides et en thermique ainsi que quelques problèmes non linéaires y sont présentés.Cet ouvrage s'adresse aux étudiants en sciences et techniques de l'ingénieur des universités et des grandes écoles. [Source : résumé de l'éditeur]
Note de contenu :	Partie I Abrégé de cours 1 Initiation aux méthodes d'analyse fonctionnelle appliquées aux EDP 7 1.1 Les questions fondamentales de l'analyse mathématique des EDP 7 1.1.1 Le problème modèle 7 1.1.2 Les difficultés de l'analyse mathématique 9 1.1.3 Formulation forte et formulation faible 10 1.2 Les espaces de Banach 12 1.2.1 Exemples d'espaces de Banach 14 1.2.2 Propriétés dans les espaces de Banach 17 1.2.3 Applications linéaires et bilinéaires continues 18 1.3 Les espaces de Hilbert 19 1.3.1 Le produit scalaire et ses propriétés 19 1.3.2 Définition et propriétés d'un espace de Hilbert 21 1.3.3 Partie convexe d'un espace de Hilbert 22 1.4 Notions élémentaires sur les distributions 23 1.4.1 Motivations : définition intuitive de la dérivée faible 23 1.4.2 Caractérisation d'un vecteur dans un espace vectoriel de dimension finie 25 1.4.3 Extension aux fonctions et introduction des distributions régulières 28 1.4.4 Définition des distributions 34 1.4.5 Dérivation des distributions 36 1.5 Les espaces de Sobolev 40 1.5.1 L'espace L2 (Omega) 40 1.5.2 L'espace H1 (Omega) 43 1.5.3 L'espace H10 (Omega) 51 1.5.4 L'espace H2 (Omega) 57 1.6 Les théorèmes fondamentaux de l'analyse fonctionnelle des EDP 60 2 La méthode des éléments finis 69 2.1 Essence de la méthode des éléments finis 69 2.1.1 Sur la modélisation mathématique 69 2.1.2 Formalisme et cadre fonctionnel des équations aux dérivées partielles 70 2.1.3 Construction d'une formulation variationnelle 72 2.2 Existence, unicité et régularité d'une solution faible 75 2.2.1 Application au problème de Laplace Dirichlet homogène 75 2.2.2 Application au problème de Laplace Dirichlet non homogène 81 2.2.3 Application au problème de Laplace-Neumann-Dirichlet 84 2.3 Equivalence entre formulation forte et formulation faible 86 2.4 Méthodologie et cascades d'approximations 92 2.5 Formulations variationnelles et approximations 95 2.6 Convergence de la méthode des éléments finis 100 2.7 Description d'éléments finis usuels 104 2.8 Classes fondamentales d'éléments finis 105 2.8.1 Éléments finis à une variable d'espace 105 2.8.2 Éléments finis à deux variables d'espace 108 2.8.3 Éléments finis à trois variables d'espace 118 Partie II Problèmes corrigés 3 Formulations variationnelles des problèmes aux limites elliptiques 123 3.1 Problème de thermique mixte 123 3.1.1 Énoncé 123 3.1.2 Corrigé - Partie théorique 126 3.2 Problème de conduction thermique 137 3.2.1 Énoncé 137 3.2.2 Corrigé 139 3.3 Problème de Stokes incompressible 154 3.3.1 Énoncé 154 3.3.2 Corrigé 158 4 Éléments finis et problèmes différentiels de référence 171 4.1 Problème de Dirichlet 173 4.1.1 Énoncé 173 4.1.2 Corrigé - Partie théorique 176 4.1.3 Corrigé - Partie numérique 182 4.2 Problème de Neumann 187 4.2.1 Enoncé 187 4.2.2 Corrigé - Partie théorique 190 4.2.3 Corrigé - Partie numérique 193 4.3 Problème de Fourier-Dirichlet 201 4.3.1 Enoncé 201 4.3.2 Corrigé - Partie théorique 204 4.3.3 Corrigé - Partie numérique 209 4.4 Problème périodique 215 4.4.1 Enoncé 215 4.4.2 Corrigé - Partie théorique 218 4.4.3 Corrigé - Partie numérique 221 5 Éléments finis en mécanique des solides déformables 225 5.1 Problème mixte en contraintes - déplacements 225 5.1.1 Énoncé 225 5.1.2 Corrigé 233 5.2 Plaque encastrée 248 5.2.1 Enoncé 248 5.2.2 Corrigé 253 6 Éléments finis appliqués à la résistance des matériaux 265 6.1 Poutre en traction simple 266 6.1.1 Énoncé 266 6.1.2 Corrigé 271 6.2 Poutre en flexion simple 286 6.2.1 Énoncé 286 6.2.2 Corrigé 291 6.3 Poutre bi-encastrée - Théorie d'Euler-Bernoulli 308 6.3.1 Énoncé 308 6.3.2 Corrigé 314 7 Éléments finis appliqués aux problèmes non linéaires 329 7.1 Équation de Burgers avec viscosité 329 7.1.1 Énoncé 330 7.1.2 Corrigé 333 7.2 Équation intégro-différentielle non linéaire 347 7.2.1 Énoncé 347 7.2.2 Corrigé 350 7.3 Équation différentielle de Riccati 360 7.3.1 Enoncé 360 7.3.2 Corrigé 363 Littérature 371 Index 373
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Méthodes mathématiques et numériques pour les équations aux dérivées partielles : applications aux sciences de l'ingénieur [texte imprime] / Joël Chaskalovic . - Paris : Tec & Doc : [S.l.] : Lavoisier, 2013 . - (VII-376 p.) : graph., couv. ill. en coul. ; 25 cm.
ISBN : 978-2-7430-1480-3
Bibliogr. p. 371. Index
Langues : Français

Mots-clés :	Équations aux dérivées partielles  Éléments finis, Méthode des  Approximation numérique  Mathématiques de l'ingénieur  Génie industriel  Analyse fonctionnelle
Index. décimale :	515.353
Résumé :	Qu’il s’agisse d’applications en physique ou en mécanique, en médecine ou en biologie, mais aussi en économie, dans les médias et en marketing, ou encore dans le domaine des finances, la traduction phénoménologique du système étudié conduit très souvent à la résolution d’équations différentielles ou aux dérivées partielles. Incontestablement, ce sont les éléments finis qui ont bouleversé le monde de l’approximation numérique des équations aux dérivées partielles. Cet ouvrage est composé de deux parties : la première est un abrégé de cours portant sur les outils de base de l’analyse mathématique des équations aux dérivées partielles et la seconde contient des problèmes corrigés qui abordent l’approximation par éléments finis des formulations variationnelles des problèmes aux limites elliptiques. Des applications en mécanique des solides déformables, à la résistance des matériaux, en mécanique des fluides et en thermique ainsi que quelques problèmes non linéaires y sont présentés.Cet ouvrage s'adresse aux étudiants en sciences et techniques de l'ingénieur des universités et des grandes écoles. [Source : résumé de l'éditeur]
Note de contenu :	Partie I Abrégé de cours 1 Initiation aux méthodes d'analyse fonctionnelle appliquées aux EDP 7 1.1 Les questions fondamentales de l'analyse mathématique des EDP 7 1.1.1 Le problème modèle 7 1.1.2 Les difficultés de l'analyse mathématique 9 1.1.3 Formulation forte et formulation faible 10 1.2 Les espaces de Banach 12 1.2.1 Exemples d'espaces de Banach 14 1.2.2 Propriétés dans les espaces de Banach 17 1.2.3 Applications linéaires et bilinéaires continues 18 1.3 Les espaces de Hilbert 19 1.3.1 Le produit scalaire et ses propriétés 19 1.3.2 Définition et propriétés d'un espace de Hilbert 21 1.3.3 Partie convexe d'un espace de Hilbert 22 1.4 Notions élémentaires sur les distributions 23 1.4.1 Motivations : définition intuitive de la dérivée faible 23 1.4.2 Caractérisation d'un vecteur dans un espace vectoriel de dimension finie 25 1.4.3 Extension aux fonctions et introduction des distributions régulières 28 1.4.4 Définition des distributions 34 1.4.5 Dérivation des distributions 36 1.5 Les espaces de Sobolev 40 1.5.1 L'espace L2 (Omega) 40 1.5.2 L'espace H1 (Omega) 43 1.5.3 L'espace H10 (Omega) 51 1.5.4 L'espace H2 (Omega) 57 1.6 Les théorèmes fondamentaux de l'analyse fonctionnelle des EDP 60 2 La méthode des éléments finis 69 2.1 Essence de la méthode des éléments finis 69 2.1.1 Sur la modélisation mathématique 69 2.1.2 Formalisme et cadre fonctionnel des équations aux dérivées partielles 70 2.1.3 Construction d'une formulation variationnelle 72 2.2 Existence, unicité et régularité d'une solution faible 75 2.2.1 Application au problème de Laplace Dirichlet homogène 75 2.2.2 Application au problème de Laplace Dirichlet non homogène 81 2.2.3 Application au problème de Laplace-Neumann-Dirichlet 84 2.3 Equivalence entre formulation forte et formulation faible 86 2.4 Méthodologie et cascades d'approximations 92 2.5 Formulations variationnelles et approximations 95 2.6 Convergence de la méthode des éléments finis 100 2.7 Description d'éléments finis usuels 104 2.8 Classes fondamentales d'éléments finis 105 2.8.1 Éléments finis à une variable d'espace 105 2.8.2 Éléments finis à deux variables d'espace 108 2.8.3 Éléments finis à trois variables d'espace 118 Partie II Problèmes corrigés 3 Formulations variationnelles des problèmes aux limites elliptiques 123 3.1 Problème de thermique mixte 123 3.1.1 Énoncé 123 3.1.2 Corrigé - Partie théorique 126 3.2 Problème de conduction thermique 137 3.2.1 Énoncé 137 3.2.2 Corrigé 139 3.3 Problème de Stokes incompressible 154 3.3.1 Énoncé 154 3.3.2 Corrigé 158 4 Éléments finis et problèmes différentiels de référence 171 4.1 Problème de Dirichlet 173 4.1.1 Énoncé 173 4.1.2 Corrigé - Partie théorique 176 4.1.3 Corrigé - Partie numérique 182 4.2 Problème de Neumann 187 4.2.1 Enoncé 187 4.2.2 Corrigé - Partie théorique 190 4.2.3 Corrigé - Partie numérique 193 4.3 Problème de Fourier-Dirichlet 201 4.3.1 Enoncé 201 4.3.2 Corrigé - Partie théorique 204 4.3.3 Corrigé - Partie numérique 209 4.4 Problème périodique 215 4.4.1 Enoncé 215 4.4.2 Corrigé - Partie théorique 218 4.4.3 Corrigé - Partie numérique 221 5 Éléments finis en mécanique des solides déformables 225 5.1 Problème mixte en contraintes - déplacements 225 5.1.1 Énoncé 225 5.1.2 Corrigé 233 5.2 Plaque encastrée 248 5.2.1 Enoncé 248 5.2.2 Corrigé 253 6 Éléments finis appliqués à la résistance des matériaux 265 6.1 Poutre en traction simple 266 6.1.1 Énoncé 266 6.1.2 Corrigé 271 6.2 Poutre en flexion simple 286 6.2.1 Énoncé 286 6.2.2 Corrigé 291 6.3 Poutre bi-encastrée - Théorie d'Euler-Bernoulli 308 6.3.1 Énoncé 308 6.3.2 Corrigé 314 7 Éléments finis appliqués aux problèmes non linéaires 329 7.1 Équation de Burgers avec viscosité 329 7.1.1 Énoncé 330 7.1.2 Corrigé 333 7.2 Équation intégro-différentielle non linéaire 347 7.2.1 Énoncé 347 7.2.2 Corrigé 350 7.3 Équation différentielle de Riccati 360 7.3.1 Enoncé 360 7.3.2 Corrigé 363 Littérature 371 Index 373
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