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| Titre : | La méthode des éléments finis : de la théorie à la pratique. I, Concepts généraux | | Type de document : | texte imprime | | Auteurs : | Patrick Ciarlet ; Luneville Eric | | Mention d'édition : | 2e éd | | Editeur : | Paris : Les Presses de l'ENSTA | | Année de publication : | 2009 | | Collection : | Les Cours (ENSTA), ISSN 1968-5890 | | Importance : | (VIII-187 p.) | | Présentation : | ill. en coul., couv. ill. en coul. | | Format : | 24 cm | | ISBN/ISSN/EAN : | 978-2-7225-0917-7 | | Note générale : | ENSTA = Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées,Bibliogr. p. [181]-182. Index | | Langues : | Anglais | | Mots-clés : | Éléments finis, Méthode des Mathématiques de l'ingénieur Systèmes linéaires Analyse numérique | | Index. décimale : | 518.25 | | Résumé : |
La méthode des éléments finis, apparue dans les années 50 pour traiter des problèmes de mécanique des structures, a connu depuis lors un développement continu et est présente, aujourd'hui, dans tous les domaines d'applications : mécanique, physique, chimie, économie, finance et biologie. Elle est maintenant utilisée dans la plupart des logiciels de calcul scientifique, et de nombreux ingénieurs y sont confrontés dans le cadre de leur activité de modélisation et de simulation numérique. Il est donc important d'en maîtriser les divers aspects.
Ce manuel, à la fois théorique et pratique, aborde les questions relatives à l'approximation par éléments finis des problèmes spectraux (éléments propres et problèmes elliptiques), des problèmes transitoires (équation de diffusion, équation des ondes) et des problèmes mixtes (équation de Stokes, équation de Maxwell).
Il présente tous les éléments essentiels de la méthode : les fondements théoriques (formulations variationnelles d'équations aux dérivées partielles, principes généraux et analyse numérique de la méthode), les considérations pratiques de mise en œuvre (structure creuse des matrices, principe d'assemblage), les algorithmes (en particulier ceux relatifs à la résolution des systèmes linéaires) et enfin des illustrations numériques.
La 4e de couverture indique : La méthode des éléments finis, apparue dans les années 50 pour traiter des problèmes de mécanique des structures, a connu depuis lors un développement continu et est présente, aujourd'hui, dans tous les domaines d'applications : mécanique, physique, chimie, économie, finance et biologie. Elle est maintenant utilisée dans la plupart des logiciels de calcul scientifique, et de nombreux ingénieurs y sont confrontés dans le cadre de leur activité de modélisation et des simulations numériques. Il est donc importait d'en maîtriser les divers aspects. Cet ouvrage présente tous les éléments essentiels de la méthode : les fondements théoriques (formulations variationnelles d'équations aux dérivées partielles principes généraux et analyse numérique de la méthode), les considérations pratiques de mise en œuvre (structure creuse des matrices, principe d'assemblage), les algorithmes (en particulier ceux relatifs à la résolution des systèmes linéaires) et enfin des illustrations numériques
| | Note de contenu : |
La méthode des éléments finis : de la théorie à la pratique
II. Compléments
E. Bécache, P. Ciarlet, C. Hazard & E. Lunéville
Paris les presses de l'ENSTA
Avant-propos IX
1 Analyse spectrale des problèmes elliptiques 1
1.1 Exemples de problèmes aux valeurs propres 2
1.1.1 Un exemple mono-dimensionnel 2
1.1.2 Problème de Helmholtz 5
1.2 Principaux résultats de la théorie spectrale 8
1.2.1 Un problème aux valeurs propres abstrait 8
1.2.2 Le théorème spectral 10
1.2.3 Le principe du Min-Max 15
1.2.4 Alternative de Fredholm 17
1.3 Approximation des problèmes spectraux 19
1.3.1 Discrétisation 19
1.3.2 Analyse d'erreur des éléments propres 21
1.3.3 La méthode de la puissance inverse 26
1.3.4 Approximation des problèmes coercif+compact 28
1.4 Illustrations numériques 32
1.4.1 Calculs de valeurs et fonctions propres 32
1.4.2 Résolution de l'équation de Helmholtz 40
2 Les éléments finis mixtes 53
2.1 La notion de problème mixte 54
2.1.1 Des équations de Stokes à un problème abstrait 54
2.1.2 Existence et unicité de la solution 57
2.1.3 Quelques exemples d'applications 63
2.1.4 Le point de vue de l'optimisation 71
2.2 Approximation d'un problème mixte 75
2.2.1 Un résultat général 75
2.2.2 Existence et unicité du multiplicateur approché 79
2.2.3 Uniformité de la condition inf-sup discrète 86
2.2.4 Résolution des problèmes approchés 90
2.3 Le cas de l'électromagnétisme quasi-statique 95
2.3.1 Un peu d'analyse fonctionnelle 97
2.3.2 Constructions des problèmes variationnels mixtes 99
2.3.3 Résolution des problèmes variationnels mixtes 103
2.3.4 Discrétisation 109
2.4 Illustrations numériques 116
2.4.1 Résolution du problème de Stokes 117
2.4.2 Résolution des équations de Maxwell 127
3 Etude et approximation de l'équation de la chaleur 141
3.1 Théorie variationnelle de l'équation de la chaleur 142
3.1.1 Espaces de fonctions à valeurs fonctions 142
3.1.2 Formulation variationnelle de l'équation de la chaleur 143
3.1.3 Existence d'une solution 145
3.2 Propriétés de l'équation de la chaleur 149
3.2.1 Estimations d'énergie et caractère dissipatif 150
3.2.2 Dépendance continue des solutions 152
3.2.3 Principe du maximum 154
3.2.4 Caractère régularisant 155
3.3 Discrétisation 157
3.3.1 Semi-discrétisation en espace 157
3.3.2 Discrétisation totale 161
3.4 Convergence temporelle du schéma 163
3.4.1 Consistance 164
3.4.2 Stabilité et convergence 165
3.5 Résultats de convergence 172
3.5.1 Convergence du problème semi-discrétisé en espace 172
3.5.2 Convergence globale 175
3.6 Illustrations numériques 178
3.6.1 Convergence numérique du thêta-schéma 179
3.6.2 Effet dissipatif et régularisant 182
3.6.3 Calcul d'une option européenne 184
4 Étude et approximation de l'équation des ondes 191
4.1 Le cas 1D : la formule de D'Alembert et ses conséquences 192
4.1.1 La formule de D'Alembert 192
4.1.2 Propriétés qualitatives 194
4.2 Théorie variationnelle de l'équation des ondes 196
4.2.1 Formulation variationnelle de l'équation des ondes 196
4.2.2 Existence d'une solution 199
4.3 Propriétés de l'équation des ondes 204
4.3.1 Estimations d'énergie et estimations a priori 204
4.3.2 Propagation à vitesse finie 208
4.3.3 Fonction de Green de l'équation des ondes 211
4.4 Semi-discrétisation en espace 213
4.4.1 Problème variationnel approché 214
4.4.2 Estimation d'énergie semi-discrète et convergence du schéma 216
4.5 Discrétisation totale 221
4.5.1 Condensation de masse 223
4.5.2 Stabilité par techniques d'énergie 226
4.5.3 Convergence du schéma totalement discrétisé 232
4.6 Analyse de dispersion 237
4.6.1 Introduction 237
4.6.2 Analyse des schémas en dimension 1 239
4.6.3 Analyse des schémas en dimension 2 241
4.7 Introduction aux Conditions aux Limites Absorbantes 248
4.7.1 Construction de la condition à la limite transparente en 2D 249
4.7.2 Approximations de la condition transparente 252
4.7.3 Questions de stabilité. Critère de Kreiss 254
4.7.4 Analyse de la précision des C. L. A. 256
4.8 Illustrations numériques 258
4.8.1 Résolution de l'équation des ondes 258
4.8.2 Résolution d'un problème de diffraction 262
Références 269
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La méthode des éléments finis : de la théorie à la pratique. I, Concepts généraux [texte imprime] / Patrick Ciarlet ; Luneville Eric . - 2e éd . - Paris : Les Presses de l'ENSTA, 2009 . - (VIII-187 p.) : ill. en coul., couv. ill. en coul. ; 24 cm. - ( Les Cours (ENSTA), ISSN 1968-5890) . ISBN : 978-2-7225-0917-7 ENSTA = Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées,Bibliogr. p. [181]-182. Index Langues : Anglais | Mots-clés : | Éléments finis, Méthode des Mathématiques de l'ingénieur Systèmes linéaires Analyse numérique | | Index. décimale : | 518.25 | | Résumé : |
La méthode des éléments finis, apparue dans les années 50 pour traiter des problèmes de mécanique des structures, a connu depuis lors un développement continu et est présente, aujourd'hui, dans tous les domaines d'applications : mécanique, physique, chimie, économie, finance et biologie. Elle est maintenant utilisée dans la plupart des logiciels de calcul scientifique, et de nombreux ingénieurs y sont confrontés dans le cadre de leur activité de modélisation et de simulation numérique. Il est donc important d'en maîtriser les divers aspects.
Ce manuel, à la fois théorique et pratique, aborde les questions relatives à l'approximation par éléments finis des problèmes spectraux (éléments propres et problèmes elliptiques), des problèmes transitoires (équation de diffusion, équation des ondes) et des problèmes mixtes (équation de Stokes, équation de Maxwell).
Il présente tous les éléments essentiels de la méthode : les fondements théoriques (formulations variationnelles d'équations aux dérivées partielles, principes généraux et analyse numérique de la méthode), les considérations pratiques de mise en œuvre (structure creuse des matrices, principe d'assemblage), les algorithmes (en particulier ceux relatifs à la résolution des systèmes linéaires) et enfin des illustrations numériques.
La 4e de couverture indique : La méthode des éléments finis, apparue dans les années 50 pour traiter des problèmes de mécanique des structures, a connu depuis lors un développement continu et est présente, aujourd'hui, dans tous les domaines d'applications : mécanique, physique, chimie, économie, finance et biologie. Elle est maintenant utilisée dans la plupart des logiciels de calcul scientifique, et de nombreux ingénieurs y sont confrontés dans le cadre de leur activité de modélisation et des simulations numériques. Il est donc importait d'en maîtriser les divers aspects. Cet ouvrage présente tous les éléments essentiels de la méthode : les fondements théoriques (formulations variationnelles d'équations aux dérivées partielles principes généraux et analyse numérique de la méthode), les considérations pratiques de mise en œuvre (structure creuse des matrices, principe d'assemblage), les algorithmes (en particulier ceux relatifs à la résolution des systèmes linéaires) et enfin des illustrations numériques
| | Note de contenu : |
La méthode des éléments finis : de la théorie à la pratique
II. Compléments
E. Bécache, P. Ciarlet, C. Hazard & E. Lunéville
Paris les presses de l'ENSTA
Avant-propos IX
1 Analyse spectrale des problèmes elliptiques 1
1.1 Exemples de problèmes aux valeurs propres 2
1.1.1 Un exemple mono-dimensionnel 2
1.1.2 Problème de Helmholtz 5
1.2 Principaux résultats de la théorie spectrale 8
1.2.1 Un problème aux valeurs propres abstrait 8
1.2.2 Le théorème spectral 10
1.2.3 Le principe du Min-Max 15
1.2.4 Alternative de Fredholm 17
1.3 Approximation des problèmes spectraux 19
1.3.1 Discrétisation 19
1.3.2 Analyse d'erreur des éléments propres 21
1.3.3 La méthode de la puissance inverse 26
1.3.4 Approximation des problèmes coercif+compact 28
1.4 Illustrations numériques 32
1.4.1 Calculs de valeurs et fonctions propres 32
1.4.2 Résolution de l'équation de Helmholtz 40
2 Les éléments finis mixtes 53
2.1 La notion de problème mixte 54
2.1.1 Des équations de Stokes à un problème abstrait 54
2.1.2 Existence et unicité de la solution 57
2.1.3 Quelques exemples d'applications 63
2.1.4 Le point de vue de l'optimisation 71
2.2 Approximation d'un problème mixte 75
2.2.1 Un résultat général 75
2.2.2 Existence et unicité du multiplicateur approché 79
2.2.3 Uniformité de la condition inf-sup discrète 86
2.2.4 Résolution des problèmes approchés 90
2.3 Le cas de l'électromagnétisme quasi-statique 95
2.3.1 Un peu d'analyse fonctionnelle 97
2.3.2 Constructions des problèmes variationnels mixtes 99
2.3.3 Résolution des problèmes variationnels mixtes 103
2.3.4 Discrétisation 109
2.4 Illustrations numériques 116
2.4.1 Résolution du problème de Stokes 117
2.4.2 Résolution des équations de Maxwell 127
3 Etude et approximation de l'équation de la chaleur 141
3.1 Théorie variationnelle de l'équation de la chaleur 142
3.1.1 Espaces de fonctions à valeurs fonctions 142
3.1.2 Formulation variationnelle de l'équation de la chaleur 143
3.1.3 Existence d'une solution 145
3.2 Propriétés de l'équation de la chaleur 149
3.2.1 Estimations d'énergie et caractère dissipatif 150
3.2.2 Dépendance continue des solutions 152
3.2.3 Principe du maximum 154
3.2.4 Caractère régularisant 155
3.3 Discrétisation 157
3.3.1 Semi-discrétisation en espace 157
3.3.2 Discrétisation totale 161
3.4 Convergence temporelle du schéma 163
3.4.1 Consistance 164
3.4.2 Stabilité et convergence 165
3.5 Résultats de convergence 172
3.5.1 Convergence du problème semi-discrétisé en espace 172
3.5.2 Convergence globale 175
3.6 Illustrations numériques 178
3.6.1 Convergence numérique du thêta-schéma 179
3.6.2 Effet dissipatif et régularisant 182
3.6.3 Calcul d'une option européenne 184
4 Étude et approximation de l'équation des ondes 191
4.1 Le cas 1D : la formule de D'Alembert et ses conséquences 192
4.1.1 La formule de D'Alembert 192
4.1.2 Propriétés qualitatives 194
4.2 Théorie variationnelle de l'équation des ondes 196
4.2.1 Formulation variationnelle de l'équation des ondes 196
4.2.2 Existence d'une solution 199
4.3 Propriétés de l'équation des ondes 204
4.3.1 Estimations d'énergie et estimations a priori 204
4.3.2 Propagation à vitesse finie 208
4.3.3 Fonction de Green de l'équation des ondes 211
4.4 Semi-discrétisation en espace 213
4.4.1 Problème variationnel approché 214
4.4.2 Estimation d'énergie semi-discrète et convergence du schéma 216
4.5 Discrétisation totale 221
4.5.1 Condensation de masse 223
4.5.2 Stabilité par techniques d'énergie 226
4.5.3 Convergence du schéma totalement discrétisé 232
4.6 Analyse de dispersion 237
4.6.1 Introduction 237
4.6.2 Analyse des schémas en dimension 1 239
4.6.3 Analyse des schémas en dimension 2 241
4.7 Introduction aux Conditions aux Limites Absorbantes 248
4.7.1 Construction de la condition à la limite transparente en 2D 249
4.7.2 Approximations de la condition transparente 252
4.7.3 Questions de stabilité. Critère de Kreiss 254
4.7.4 Analyse de la précision des C. L. A. 256
4.8 Illustrations numériques 258
4.8.1 Résolution de l'équation des ondes 258
4.8.2 Résolution d'un problème de diffraction 262
Références 269
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La méthode des éléments finis (2009)
