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| Titre : | Introduction aux méthodes numériques | | Type de document : | texte imprime | | Auteurs : | Franck Jedrzejewski, Auteur ; Paul Reuss, Préfacier, etc. | | Mention d'édition : | 2e éd. | | Editeur : | Paris : Springer | | Année de publication : | 2006 | | Importance : | 291 p. | | Présentation : | couv. ill. en coul. | | Format : | 24 cm | | ISBN/ISSN/EAN : | 978-2-287-59711-4 | | Note générale : | Bibliogr. p. [269]-285. Index | | Langues : | Français | | Mots-clés : | Analyse numérique Équations différentielles:solutions numériques Équations:solutions numériques Équations aux dérivées partielles:solutions numériques | | Index. décimale : | 5194 | | Résumé : | Au cours de l’histoire, les méthodes de calcul ont été l’expression de pratiques sans cesse renouvelées. Le développement de l’informatique a largement contribué à une rapide progression de l’ensemble des techniques numériques. En moins de cinquante ans, le paysage algorithmique a été complètement transformé. Aujourd’hui, la plupart des logiciels que nous employons font appel à des méthodes de plus en plus efficaces. Dans les simulations, comme dans les modélisations, l’analyse numérique occupe une place centrale. Composants essentiels de la vie scientifique, les méthodes et algorithmes qui sont présentés ici, illustrés par de nombreux exemples, sont mis à la portée de tous. De l’approximation polynomiale à la résolution d’équations aux dérivées partielles par des méthodes de différences, de volumes et d’éléments finis, ce livre offre un large panorama des méthodes numériques actuelles. Il s’appuie sur une expérience d’une dizaine d’années d’enseignement et s’adresse à un public très varié: étudiants en sciences, élèves d’écoles d’ingénieur ou de classes préparatoires qui souhaiteraient acquérir rapidement les bases des méthodes numériques. Cette seconde édition offre des compléments d’analyse matricielle et un nouveau chapitre sur les équations de la physique mathématique, qui sont au cœur des préoccupations d’aujourd’hui. | | Note de contenu : |
Introduction 13
1 Problèmes numériques 17
1.1 Erreurs et précision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Convergence et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Accélération de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Problèmes bien posés, problèmes raides . . . . . . . . . . . 25
1.7 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Approximation et interpolation 35
2.1 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Interpolation d’Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Interpolation de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Différences divisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Algorithme de Neville-Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6 Meilleure approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7 Approximation uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.8 Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.9 Approximation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.10 Polynômes de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.11 Fonctions splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8 Table des matières
2.12 Approximants de Padé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3 Résolution d’équations 69
3.1 Équations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Théorèmes de points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 Localisation des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4 Approximations successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5 Méthode de la sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6 Méthode de Müller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.7 Méthode de la bissection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.8 Méthode de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.9 Méthode de Ste ensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.10 Méthode de Brent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.11 Méthode de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.12 Méthode de Bairstow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.13 Méthode d’Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.14 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 Intégration numérique 83
4.1 Principes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 Méthode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3 Méthode des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4 Méthode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5 Méthode de Newton-Côtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.6 Méthode de Poncelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.7 Méthode de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.8 Méthodes de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.9 Intégration de Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.10 Intégration de Gauss-Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.11 Intégration de Gauss-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . 94
4.12 Intégration de Gauss-Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5 Systèmes linéaires 99
5.1 Généralités sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 Méthodes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.1 Méthode de remontée . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.2 Élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.3 Méthode de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . 106
5.2.4 Problème des pivots . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2.5 Méthode de Crout. Factorisation LU . . . . . . . . 109
5.2.6 Méthode de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2.7 Méthode de Householder. Factorisation QR . . . . 111
5.3 Méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Table des matières 9
5.3.1 Méthode de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.3.2 Méthode de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . 115
5.3.3 Méthodes de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3.4 Méthode d’Uzawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4 Méthodes projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4.1 Méthode de la plus profonde descente . . . . . . . 119
5.4.2 Méthode du gradient conjugué . . . . . . . . . . . 120
5.4.3 Méthode du gradient conjugué pré conditionné . . 120
5.4.4 Méthode du gradient conjugué pour les moindres
carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.4.5 Méthode du gradient biconjugué . . . . . . . . . . 121
5.4.6 Méthode d’Arnoldi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.4.7 Méthode GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6 Valeurs et vecteurs propres 129
6.1 Méthode des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2 Déflation de Wielandt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.3 Méthode de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.4 Méthode de Givens-Householder . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.5 Méthode de Rutishauser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.6 Méthode de Francis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.7 Méthode de Lanczòs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.8 Calcul du polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . 137
6.8.1 Méthode de Krylov . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.8.2 Méthode de Leverrier . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.8.3 Méthode de Faddeev . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7 Équations et systèmes d’équations Différentielles 141
7.1 Existence et unicité des solutions . . . . . . . . . . . . . . 141
7.2 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.3 Inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.4 Équations Différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.5 Points critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.6 Ensembles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.7 Stabilité de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.8 Solutions périodiques. Théorie de Floquet . . . . . . . . . 151
7.9 Intégrales et fonctions elliptiques . . . . . . . . . . . . . . 152
7.10 Transcendantes de Painlevé . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.11 Hyperbolicité. Variété centrale . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.12 Classification des flots bidimensionnels . . . . . . . . . . . 158
7.13 Théorème de Poincaré-Bendixson . . . . . . . . . . . . . . 158
7.14 Stabilité structurelle. Théorème de Peixoto . . . . . . . . . 160
7.15 Bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10 Table des matières
7.16 Système de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.17 Méthodes d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.18 Méthodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.19 Méthode de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.20 Méthodes d’Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.21 Méthodes de Rosenbrock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.22 Méthodes de prédiction-correction . . . . . . . . . . . . . . 172
7.23 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8 Équations aux dérivées partielles 175
8.1 Problèmes aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.2 Espaces de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.3 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.4 Opérateurs pseudo-Différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.5 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.6 Variété des caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.7 Classification des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.8 Problèmes équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.9 Schémas de discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.10 Convergence et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9 Équations elliptiques 195
9.1 Fonctions harmoniques. Principe du maximum . . . . . . . 196
9.2 L’opérateur de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.3 Équations elliptiques linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.4 Équations elliptiques non linéaires . . . . . . . . . . . . . . 200
9.5 Méthode de Richardson-Liebmann . . . . . . . . . . . . . . 200
9.6 Méthodes de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.7 Méthode par transformée de Fourier rapide . . . . . . . . . 201
9.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
10 Équations paraboliques 203
10.1 Équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
10.2 Équation de la diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
10.3 Équation parabolique non linéaire . . . . . . . . . . . . . . 206
10.4 Méthode du theta-schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
10.5 Méthode de Crank-Nicholson . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
10.6 Méthode alternative de Peaceman-Rachford-Douglas . . . 209
10.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
11 Équations hyperboliques 211
11.1 Résultats fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
11.2 Équation du transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
11.2.1 Schéma de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Table des matières 11
11.2.2 Schéma décentré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
11.2.3 Schéma saute-mouton . . . . . . . . . . . . . . . . 217
11.2.4 Schéma de Lax-Wendroff. . . . . . . . . . . . . . . 217
11.3 Équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
11.3.1 Méthode du theta-schéma . . . . . . . . . . . . . . 219
11.3.2 Schéma de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
11.3.3 Schéma saute-mouton . . . . . . . . . . . . . . . . 221
11.3.4 Schéma de Lax-Wendroff. . . . . . . . . . . . . . 222
11.4 Équation de Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
11.4.1 Schéma de Lax-Friedrichs . . . . . . . . . . . . . . 222
11.4.2 Schéma saute-mouton . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11.4.3 Schéma de Lax-Wendroff. . . . . . . . . . . . . . . 224
11.4.4 Schéma d’Engquist-Osher . . . . . . . . . . . . . . 225
11.4.5 Schéma de Godunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
11.4.6 Schémas de Lerat-Peyret . . . . . . . . . . . . . . 226
11.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
12 Méthode des éléments finis 229
12.1 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
12.2 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
12.3 Maillage et fonctions de forme . . . . . . . . . . . . . . . . 231
12.4 Matrices de masse et de rigidité élémentaires . . . . . . . . 232
12.5 Éléments finis lagrangiens d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . 232
12.6 Éléments finis lagrangiens d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . 235
12.7 Éléments finis lagrangiens d’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . 236
12.8 Éléments finis hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12.9 Méthodes des résidus pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . 239
12.10 Méthode de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
12.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
13 Équations de physique 247
13.1 Équation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
13.2 Équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
13.3 Équation de Korteweg de Vries . . . . . . . . . . . . . . . 252
13.4 Équation de sine-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
13.5 Équation de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
13.6 Équation de Benjamin-Bona-Mahony . . . . . . . . . . . . 257
13.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
A Polynômes orthogonaux 259
A.1 Polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
A.2 Polynômes de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
A.3 Polynômes de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
A.4 Polynômes d’Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
A.5 Polynômes de Gegenbauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
12 Table des matières
A.6 Polynômes de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Bibliographie 269
Index 287 | | En ligne : | https://books.google.dz/books?id=LOvNRN6z8PoC&printsec=frontcover&hl=fr&source=g [...] | | Permalink : | ./index.php?lvl=notice_display&id=12764 |
Introduction aux méthodes numériques [texte imprime] / Franck Jedrzejewski, Auteur ; Paul Reuss, Préfacier, etc. . - 2e éd. . - Paris : Springer, 2006 . - 291 p. : couv. ill. en coul. ; 24 cm. ISBN : 978-2-287-59711-4 Bibliogr. p. [269]-285. Index Langues : Français | Mots-clés : | Analyse numérique Équations différentielles:solutions numériques Équations:solutions numériques Équations aux dérivées partielles:solutions numériques | | Index. décimale : | 5194 | | Résumé : | Au cours de l’histoire, les méthodes de calcul ont été l’expression de pratiques sans cesse renouvelées. Le développement de l’informatique a largement contribué à une rapide progression de l’ensemble des techniques numériques. En moins de cinquante ans, le paysage algorithmique a été complètement transformé. Aujourd’hui, la plupart des logiciels que nous employons font appel à des méthodes de plus en plus efficaces. Dans les simulations, comme dans les modélisations, l’analyse numérique occupe une place centrale. Composants essentiels de la vie scientifique, les méthodes et algorithmes qui sont présentés ici, illustrés par de nombreux exemples, sont mis à la portée de tous. De l’approximation polynomiale à la résolution d’équations aux dérivées partielles par des méthodes de différences, de volumes et d’éléments finis, ce livre offre un large panorama des méthodes numériques actuelles. Il s’appuie sur une expérience d’une dizaine d’années d’enseignement et s’adresse à un public très varié: étudiants en sciences, élèves d’écoles d’ingénieur ou de classes préparatoires qui souhaiteraient acquérir rapidement les bases des méthodes numériques. Cette seconde édition offre des compléments d’analyse matricielle et un nouveau chapitre sur les équations de la physique mathématique, qui sont au cœur des préoccupations d’aujourd’hui. | | Note de contenu : |
Introduction 13
1 Problèmes numériques 17
1.1 Erreurs et précision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Convergence et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Accélération de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Problèmes bien posés, problèmes raides . . . . . . . . . . . 25
1.7 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Approximation et interpolation 35
2.1 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Interpolation d’Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Interpolation de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Différences divisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Algorithme de Neville-Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6 Meilleure approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7 Approximation uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.8 Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.9 Approximation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.10 Polynômes de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.11 Fonctions splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8 Table des matières
2.12 Approximants de Padé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3 Résolution d’équations 69
3.1 Équations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Théorèmes de points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 Localisation des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4 Approximations successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5 Méthode de la sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6 Méthode de Müller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.7 Méthode de la bissection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.8 Méthode de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.9 Méthode de Ste ensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.10 Méthode de Brent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.11 Méthode de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.12 Méthode de Bairstow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.13 Méthode d’Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.14 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 Intégration numérique 83
4.1 Principes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 Méthode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3 Méthode des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4 Méthode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5 Méthode de Newton-Côtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.6 Méthode de Poncelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.7 Méthode de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.8 Méthodes de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.9 Intégration de Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.10 Intégration de Gauss-Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.11 Intégration de Gauss-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . 94
4.12 Intégration de Gauss-Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5 Systèmes linéaires 99
5.1 Généralités sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 Méthodes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.1 Méthode de remontée . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.2 Élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.3 Méthode de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . 106
5.2.4 Problème des pivots . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2.5 Méthode de Crout. Factorisation LU . . . . . . . . 109
5.2.6 Méthode de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2.7 Méthode de Householder. Factorisation QR . . . . 111
5.3 Méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Table des matières 9
5.3.1 Méthode de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.3.2 Méthode de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . 115
5.3.3 Méthodes de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3.4 Méthode d’Uzawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4 Méthodes projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4.1 Méthode de la plus profonde descente . . . . . . . 119
5.4.2 Méthode du gradient conjugué . . . . . . . . . . . 120
5.4.3 Méthode du gradient conjugué pré conditionné . . 120
5.4.4 Méthode du gradient conjugué pour les moindres
carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.4.5 Méthode du gradient biconjugué . . . . . . . . . . 121
5.4.6 Méthode d’Arnoldi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.4.7 Méthode GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6 Valeurs et vecteurs propres 129
6.1 Méthode des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2 Déflation de Wielandt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.3 Méthode de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.4 Méthode de Givens-Householder . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.5 Méthode de Rutishauser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.6 Méthode de Francis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.7 Méthode de Lanczòs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.8 Calcul du polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . 137
6.8.1 Méthode de Krylov . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.8.2 Méthode de Leverrier . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.8.3 Méthode de Faddeev . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7 Équations et systèmes d’équations Différentielles 141
7.1 Existence et unicité des solutions . . . . . . . . . . . . . . 141
7.2 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.3 Inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.4 Équations Différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.5 Points critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.6 Ensembles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.7 Stabilité de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.8 Solutions périodiques. Théorie de Floquet . . . . . . . . . 151
7.9 Intégrales et fonctions elliptiques . . . . . . . . . . . . . . 152
7.10 Transcendantes de Painlevé . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.11 Hyperbolicité. Variété centrale . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.12 Classification des flots bidimensionnels . . . . . . . . . . . 158
7.13 Théorème de Poincaré-Bendixson . . . . . . . . . . . . . . 158
7.14 Stabilité structurelle. Théorème de Peixoto . . . . . . . . . 160
7.15 Bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10 Table des matières
7.16 Système de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.17 Méthodes d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.18 Méthodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.19 Méthode de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.20 Méthodes d’Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.21 Méthodes de Rosenbrock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.22 Méthodes de prédiction-correction . . . . . . . . . . . . . . 172
7.23 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8 Équations aux dérivées partielles 175
8.1 Problèmes aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.2 Espaces de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.3 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.4 Opérateurs pseudo-Différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.5 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.6 Variété des caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.7 Classification des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.8 Problèmes équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.9 Schémas de discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.10 Convergence et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9 Équations elliptiques 195
9.1 Fonctions harmoniques. Principe du maximum . . . . . . . 196
9.2 L’opérateur de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.3 Équations elliptiques linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.4 Équations elliptiques non linéaires . . . . . . . . . . . . . . 200
9.5 Méthode de Richardson-Liebmann . . . . . . . . . . . . . . 200
9.6 Méthodes de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.7 Méthode par transformée de Fourier rapide . . . . . . . . . 201
9.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
10 Équations paraboliques 203
10.1 Équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
10.2 Équation de la diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
10.3 Équation parabolique non linéaire . . . . . . . . . . . . . . 206
10.4 Méthode du theta-schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
10.5 Méthode de Crank-Nicholson . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
10.6 Méthode alternative de Peaceman-Rachford-Douglas . . . 209
10.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
11 Équations hyperboliques 211
11.1 Résultats fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
11.2 Équation du transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
11.2.1 Schéma de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Table des matières 11
11.2.2 Schéma décentré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
11.2.3 Schéma saute-mouton . . . . . . . . . . . . . . . . 217
11.2.4 Schéma de Lax-Wendroff. . . . . . . . . . . . . . . 217
11.3 Équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
11.3.1 Méthode du theta-schéma . . . . . . . . . . . . . . 219
11.3.2 Schéma de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
11.3.3 Schéma saute-mouton . . . . . . . . . . . . . . . . 221
11.3.4 Schéma de Lax-Wendroff. . . . . . . . . . . . . . 222
11.4 Équation de Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
11.4.1 Schéma de Lax-Friedrichs . . . . . . . . . . . . . . 222
11.4.2 Schéma saute-mouton . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11.4.3 Schéma de Lax-Wendroff. . . . . . . . . . . . . . . 224
11.4.4 Schéma d’Engquist-Osher . . . . . . . . . . . . . . 225
11.4.5 Schéma de Godunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
11.4.6 Schémas de Lerat-Peyret . . . . . . . . . . . . . . 226
11.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
12 Méthode des éléments finis 229
12.1 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
12.2 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
12.3 Maillage et fonctions de forme . . . . . . . . . . . . . . . . 231
12.4 Matrices de masse et de rigidité élémentaires . . . . . . . . 232
12.5 Éléments finis lagrangiens d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . 232
12.6 Éléments finis lagrangiens d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . 235
12.7 Éléments finis lagrangiens d’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . 236
12.8 Éléments finis hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12.9 Méthodes des résidus pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . 239
12.10 Méthode de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
12.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
13 Équations de physique 247
13.1 Équation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
13.2 Équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
13.3 Équation de Korteweg de Vries . . . . . . . . . . . . . . . 252
13.4 Équation de sine-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
13.5 Équation de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
13.6 Équation de Benjamin-Bona-Mahony . . . . . . . . . . . . 257
13.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
A Polynômes orthogonaux 259
A.1 Polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
A.2 Polynômes de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
A.3 Polynômes de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
A.4 Polynômes d’Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
A.5 Polynômes de Gegenbauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
12 Table des matières
A.6 Polynômes de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Bibliographie 269
Index 287 | | En ligne : | https://books.google.dz/books?id=LOvNRN6z8PoC&printsec=frontcover&hl=fr&source=g [...] | | Permalink : | ./index.php?lvl=notice_display&id=12764 |
|  |
Introduction aux méthodes numériques (2006) 
