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| Titre : | Simulation stochastique et méthodes de Monte-Carlo | | Type de document : | texte imprime | | Auteurs : | Carl Graham ; Denis Talay | | Editeur : | Palaiseau : les Éditions de l'École polytechnique | | Année de publication : | 2011 | | Collection : | (Mathématiques appliquées) | | Importance : | (VI-198 p.) | | Présentation : | couv. ill. en coul. | | Format : | 24 cm | | ISBN/ISSN/EAN : | 978-2-7302-1582-4 | | Note générale : | Bibliogr. p. 197-198 | | Langues : | Français | | Mots-clés : | Simulation, Méthodes de Processus stochastiques Loi des grands nombres Poisson, Processus de Monte-Carlo, Méthode de Équations différentielles stochastiques Probabilités | | Index. décimale : | 519.23 | | Résumé : | Cet ouvrage présente des méthodes probabilistes numériques de simulation et leurs vitesses de convergence. Avec une grande originalité, il allie rigueur mathématique et développements numériques, chaque méthode proposée s'inscrivant dans un contexte théorique précis développé de manière rigoureuse et auto-suffisante. Il s'adresse aussi bien à des étudiants ou élèves de grandes écoles ayant un bon niveau Master 1 en théorie des probabilités, qu'à des ingénieurs ou scientifiques recherchant une solide base théorique pour développer ou mettre en oeuvre des algorithmes ambitieux de simulation de processus stochastiques.
Après des rappels sur la loi des grands nombres et les bases élémentaires de la simulation probabiliste, les auteurs introduisent les martingales et leurs principales propriétés. Ils développent ensuite un chapitre sur les estimations non asymptotiques des erreurs des méthodes de Monte-Carlo ; ce chapitre rappelle le théorème limite central et précise sa vitesse de convergence, introduit les inégalités de Log-Sobolev et de concentration dont l'étude s'est énormément développée ces dernières années, et se termine par des techniques de réduction de variance.
Pour pouvoir démontrer rigoureusement les résultats sur la simulation de processus stochastiques, les auteurs introduisent ensuite les notions fondamentales de probabilités et de calcul stochastique, notamment les bases essentielles du calcul d'Itô, adaptées à chaque méthode numérique proposée. Ils étudient successivement la construction et les propriétés importantes du processus de Poisson, des processus de Markov de saut et déterministes par morceaux (liés aux équations de transport), et des solutions d'équations différentielles stochastiques. Les méthodes numériques sont alors développées, et les résultats de vitesse de convergence des algorithmes sont rigoureusement démontrés. Au passage, les auteurs décrivent les fondements de l'interprétation probabiliste des équations aux dérivées partielles paraboliques. Des applications non triviales à de véritables problèmes appliqués sont également développées.
Carl Graham est chercheur CNRS et professeur chargé de cours à l'École Polytechnique. Ses recherches portent sur la modélisation stochastique, notamment pour l'interprétation et la simulation des équations non-linéaires de la physique statistique et pour les réseaux de communication et leur algorithmique.
Denis Talay est directeur de recherche à l'Inria, où il dirige l'équipe-projet Tosca, et professeur chargé de cours à l'École Polytechnique. Ses recherches portent sur la modélisation stochastique, les liens entre l'analyse stochastique et les équations aux dérivées partielles, et les probabilités numériques.
| | Note de contenu : |
Introduction 1
Plan de l'ouvrage 9
1 L.G.N. et principe des méthodes de Monte-Carlo 11
1.1 Loi Forte des Grands Nombres, exemples de méthodes de Monte-Carlo 11
1.1.1 Loi Forte des Grands Nombres, convergence p.s. 11
1.1.2 Aiguille de Buffon 12
1.1.3 Simulation en transport neutronique 13
1.1.4 Méthodes numériques probabilistes pour les E.D.P. 14
1.2 Algorithmes de simulation de lois élémentaires 16
1.2.1 Simulation de la loi uniforme 16
1.2.2 Simulation de lois discrètes 17
1.2.3 Simulation de lois gaussiennes 17
1.2.4 Inversion de la fonction de répartition, loi exponentielle 19
1.2.5 Méthode du rejet 19
1.2.6 Tests 21
1.3 Martingales à temps discret, preuve de la Loi Forte des Grands Nombres 21
1.3.1 Rappels sur l'espérance conditionnelle par rapport à une tribu 21
1.3.2 Sous-martingales, et martingales inverses, à temps discret 22
1.3.3 Preuve de la Loi Forte des Grands Nombres 25
1.4 Problèmes 27
1.4.1 Une méthode de simulation de la loi de Poisson 27
1.4.2 Exposant de Lyapunov de suite récurrente aléatoire linéaire 28
1.4.3 Variables aléatoires uniformément intégrables (*) 29
2 Estimations non asymptotiques de l'erreur d'approximation 31
2.1 Convergence en loi de variables aléatoires, fonctions caractéristiques 31
2.2 Théorème Limite Central 33
2.3 Théorème de Berry-Esseen 35
2.4 Théorème de Bikelis, intervalles de confiance 38
2.5 Inégalités de concentration 39
2.5.1 Inégalité de Sobolev Logarithmique 39
2.5.2 Inégalités de concentration, intervalles de confiance 42
2.6 Techniques élémentaires de réduction de variance 46
2.6.1 Variables de contrôle 46
2.6.2 Échantillonnage préférentiel 47
2.7 Problèmes 51
2.7.1 Vitesse de convergence pour le théorème de Donsker 51
2.7.2 Approximation ponctuelle de densité 51
2.7.3 Approximation de quantiles 52
2.7.4 Inégalités de concentration (*) 53
3 Processus de Poisson 55
3.1 Présentation succinte des processus de Markov 55
3.1.1 Quelques enjeux de la modélisation markovienne 55
3.1.2 Éléments sur les processus, leurs trajectoires, et leur lois 56
3.2 Caractérisation du processus de Poisson, propriétés 57
3.2.1 Processus ponctuels, absence de mémoire, processus de Poisson 57
3.2.2 Propriété de Markov simple et forte 62
3.2.3 Superposition et décomposition de processus de Poisson 64
3.3 Simulation et approximation 67
3.3.1 Simulation exacte des inter-arrivées 67
3.3.2 Simulation exacte de processus de Poisson indépendants 68
3.3.3 Limite temps long ou intensité grande, estimation de l'intensité 69
3.3.4 Durée de simulation, simulation approchée, limite brownienne 70
3.4 Problèmes 72
3.4.1 Loi des instants d'un processus de Poisson 72
3.4.2 T.L.C. et inégalité de concentration pour la loi de Poisson 72
3.4.3 Processus de Poisson inhomogène (*) 72
4 Processus de Markov sur un espace discret 75
4.1 Caractérisation, spécification, propriétés 75
4.1.1 Mesures, fonctions, et matrices markoviennes 75
4.1.2 Propriété de Markov simple et forte 77
4.1.3 Semi-groupe, générateur infinitésimal et loi d'évolution 81
4.2 Constructions, existence, simulation, équations 84
4.2.1 Constructions fondamentales 84
4.2.2 Explosion ou existence du processus de Markov 86
4.2.3 Simulation fondamentale, méthode des sauts fictifs 88
4.2.4 Équations de Kolmogorov, formule de Feynman-Kac 89
4.2.5 Algèbres d'opérateurs bornés, générateur et semi-groupe 91
4.2.6 Étude de quelques exemples 95
4.3 Problèmes 99
4.3.1 Processus de branchement en temps continu 99
4.3.2 Processus de Markov et problème de Dirichlet (*) 100
4.3.3 Processus de Markov, générateur, et martingales (*) 101
5 Processus de Markov avec sauts sur un espace continu 103
5.1 Caractérisation, spécification, généralités 103
5.1.1 Mesures, fonctions, et opérateurs à noyau markovien 103
5.1.2 Propriété de Markov, marginales fini-dimensionnelles 105
5.1.3 Semi-groupe et générateur infinitésimal 107
5.2 Processus de Markov évoluant uniquement par sauts isolés 108
5.2.1 Semi-groupe, générateur infinitésimal, et loi d'évolution 108
5.2.2 Construction, simulation, existence 111
5.2.3 Équations de Kolmogorov, formule de Feynman-Kac 114
5.3 Processus de Markov évoluant selon une E.D.O. entre des sauts 117
5.3.1 Trajectoires, évolution, générateur intégro-différentiel 117
5.3.2 Construction, simulation, existence 120
5.3.3 Équations de Kolmogorov, formule de Feynman-Kac 123
5.3.4 Application aux équations cinétiques, extensions 124
5.4 Problèmes 130
5.4.1 Des échanges binaires d'énergie 130
5.4.2 Un processus avec accumulation de sauts 130
5.4.3 Une équation de Kac généralisée (*) 131
6 Discrétisation d'équations différentielles stochastiques 133
6.1 Quelques rappels de calcul stochastique d'Itô 133
6.1.1 Intégrales stochastiques et processus d'Itô 133
6.1.2 Formule d'Itô, existence et unicité de solutions d'E.D.S. 136
6.2 Les schémas d'Euler et de Milstein 138
6.3 Moments de Xt et de ses approximations 140
6.4 Vitesses de convergence en norme Lp (oméga) et p.s. 145
6.5 Méthode de Monte-Carlo pour des E.D.P. paraboliques 147
6.5.1 Principe de la méthode 147
6.5.2 Introduction à l'analyse de l'erreur 149
6.6 Le résultat optimal de vitesse de convergence 151
6.7 Extrapolations de Romberg-Richardson 156
6.8 Interprétation probabiliste et contrôle polynômial des dérivées 157
6.9 Problèmes 160
6.9.1 Comportement en temps long de l'erreur du schéma d'Euler 160
6.9.2 Schéma d'Euler implicite 161
6.9.3 Flot d'équation différentielle stochastique (*) 162
7 Réduction de variance et E.D.S. 165
7.1 Rappels sur le Théorème de Girsanov 165
7.2 Variables de contrôle 166
7.3 Réduction de variance pour les calculs de sensibilité 168
7.3.1 Le cas des conditions terminales f dérivables 168
7.3.2 Le cas des conditions terminales f non dérivables 169
7.4 Échantillonnage préférentiel 172
7.5 Méthode de Romberg statistique 175
7.6 Problèmes 176
7.6.1 Echantillonnage préférentiel pour les E.D.S. 176
7.6.2 Réduction de variance pour le calcul du delta d'une option 177
8 Algorithmes stochastiques 179
8.1 Introduction 179
8.2 Étude dans un cadre idéalisé 180
8.2.1 Définitions 180
8.2.2 Équation différentielle associée, accroissements de martingale 181
8.2.3 Comportement en temps long de l'algorithme 182
8.3 Réduction de variance pour méthode de Monte-Carlo 186
8.3.1 Recherche d'un échantillonage préférentiel 186
8.3.2 Réduction de variance et algorithmes stochastiques 188
8.4 Problèmes 190
8.4.1 Une méthode de Monte-Carlo adaptative 190
8.4.2 L'hypothèse b) du Théorème 8.2.4 192
8.4.3 Recherche de vecteur propre principal : algorithme d'Oja 193
Bibliographie 197
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Simulation stochastique et méthodes de Monte-Carlo [texte imprime] / Carl Graham ; Denis Talay . - Palaiseau : les Éditions de l'École polytechnique, 2011 . - (VI-198 p.) : couv. ill. en coul. ; 24 cm. - ( (Mathématiques appliquées)) . ISBN : 978-2-7302-1582-4 Bibliogr. p. 197-198 Langues : Français | Mots-clés : | Simulation, Méthodes de Processus stochastiques Loi des grands nombres Poisson, Processus de Monte-Carlo, Méthode de Équations différentielles stochastiques Probabilités | | Index. décimale : | 519.23 | | Résumé : | Cet ouvrage présente des méthodes probabilistes numériques de simulation et leurs vitesses de convergence. Avec une grande originalité, il allie rigueur mathématique et développements numériques, chaque méthode proposée s'inscrivant dans un contexte théorique précis développé de manière rigoureuse et auto-suffisante. Il s'adresse aussi bien à des étudiants ou élèves de grandes écoles ayant un bon niveau Master 1 en théorie des probabilités, qu'à des ingénieurs ou scientifiques recherchant une solide base théorique pour développer ou mettre en oeuvre des algorithmes ambitieux de simulation de processus stochastiques.
Après des rappels sur la loi des grands nombres et les bases élémentaires de la simulation probabiliste, les auteurs introduisent les martingales et leurs principales propriétés. Ils développent ensuite un chapitre sur les estimations non asymptotiques des erreurs des méthodes de Monte-Carlo ; ce chapitre rappelle le théorème limite central et précise sa vitesse de convergence, introduit les inégalités de Log-Sobolev et de concentration dont l'étude s'est énormément développée ces dernières années, et se termine par des techniques de réduction de variance.
Pour pouvoir démontrer rigoureusement les résultats sur la simulation de processus stochastiques, les auteurs introduisent ensuite les notions fondamentales de probabilités et de calcul stochastique, notamment les bases essentielles du calcul d'Itô, adaptées à chaque méthode numérique proposée. Ils étudient successivement la construction et les propriétés importantes du processus de Poisson, des processus de Markov de saut et déterministes par morceaux (liés aux équations de transport), et des solutions d'équations différentielles stochastiques. Les méthodes numériques sont alors développées, et les résultats de vitesse de convergence des algorithmes sont rigoureusement démontrés. Au passage, les auteurs décrivent les fondements de l'interprétation probabiliste des équations aux dérivées partielles paraboliques. Des applications non triviales à de véritables problèmes appliqués sont également développées.
Carl Graham est chercheur CNRS et professeur chargé de cours à l'École Polytechnique. Ses recherches portent sur la modélisation stochastique, notamment pour l'interprétation et la simulation des équations non-linéaires de la physique statistique et pour les réseaux de communication et leur algorithmique.
Denis Talay est directeur de recherche à l'Inria, où il dirige l'équipe-projet Tosca, et professeur chargé de cours à l'École Polytechnique. Ses recherches portent sur la modélisation stochastique, les liens entre l'analyse stochastique et les équations aux dérivées partielles, et les probabilités numériques.
| | Note de contenu : |
Introduction 1
Plan de l'ouvrage 9
1 L.G.N. et principe des méthodes de Monte-Carlo 11
1.1 Loi Forte des Grands Nombres, exemples de méthodes de Monte-Carlo 11
1.1.1 Loi Forte des Grands Nombres, convergence p.s. 11
1.1.2 Aiguille de Buffon 12
1.1.3 Simulation en transport neutronique 13
1.1.4 Méthodes numériques probabilistes pour les E.D.P. 14
1.2 Algorithmes de simulation de lois élémentaires 16
1.2.1 Simulation de la loi uniforme 16
1.2.2 Simulation de lois discrètes 17
1.2.3 Simulation de lois gaussiennes 17
1.2.4 Inversion de la fonction de répartition, loi exponentielle 19
1.2.5 Méthode du rejet 19
1.2.6 Tests 21
1.3 Martingales à temps discret, preuve de la Loi Forte des Grands Nombres 21
1.3.1 Rappels sur l'espérance conditionnelle par rapport à une tribu 21
1.3.2 Sous-martingales, et martingales inverses, à temps discret 22
1.3.3 Preuve de la Loi Forte des Grands Nombres 25
1.4 Problèmes 27
1.4.1 Une méthode de simulation de la loi de Poisson 27
1.4.2 Exposant de Lyapunov de suite récurrente aléatoire linéaire 28
1.4.3 Variables aléatoires uniformément intégrables (*) 29
2 Estimations non asymptotiques de l'erreur d'approximation 31
2.1 Convergence en loi de variables aléatoires, fonctions caractéristiques 31
2.2 Théorème Limite Central 33
2.3 Théorème de Berry-Esseen 35
2.4 Théorème de Bikelis, intervalles de confiance 38
2.5 Inégalités de concentration 39
2.5.1 Inégalité de Sobolev Logarithmique 39
2.5.2 Inégalités de concentration, intervalles de confiance 42
2.6 Techniques élémentaires de réduction de variance 46
2.6.1 Variables de contrôle 46
2.6.2 Échantillonnage préférentiel 47
2.7 Problèmes 51
2.7.1 Vitesse de convergence pour le théorème de Donsker 51
2.7.2 Approximation ponctuelle de densité 51
2.7.3 Approximation de quantiles 52
2.7.4 Inégalités de concentration (*) 53
3 Processus de Poisson 55
3.1 Présentation succinte des processus de Markov 55
3.1.1 Quelques enjeux de la modélisation markovienne 55
3.1.2 Éléments sur les processus, leurs trajectoires, et leur lois 56
3.2 Caractérisation du processus de Poisson, propriétés 57
3.2.1 Processus ponctuels, absence de mémoire, processus de Poisson 57
3.2.2 Propriété de Markov simple et forte 62
3.2.3 Superposition et décomposition de processus de Poisson 64
3.3 Simulation et approximation 67
3.3.1 Simulation exacte des inter-arrivées 67
3.3.2 Simulation exacte de processus de Poisson indépendants 68
3.3.3 Limite temps long ou intensité grande, estimation de l'intensité 69
3.3.4 Durée de simulation, simulation approchée, limite brownienne 70
3.4 Problèmes 72
3.4.1 Loi des instants d'un processus de Poisson 72
3.4.2 T.L.C. et inégalité de concentration pour la loi de Poisson 72
3.4.3 Processus de Poisson inhomogène (*) 72
4 Processus de Markov sur un espace discret 75
4.1 Caractérisation, spécification, propriétés 75
4.1.1 Mesures, fonctions, et matrices markoviennes 75
4.1.2 Propriété de Markov simple et forte 77
4.1.3 Semi-groupe, générateur infinitésimal et loi d'évolution 81
4.2 Constructions, existence, simulation, équations 84
4.2.1 Constructions fondamentales 84
4.2.2 Explosion ou existence du processus de Markov 86
4.2.3 Simulation fondamentale, méthode des sauts fictifs 88
4.2.4 Équations de Kolmogorov, formule de Feynman-Kac 89
4.2.5 Algèbres d'opérateurs bornés, générateur et semi-groupe 91
4.2.6 Étude de quelques exemples 95
4.3 Problèmes 99
4.3.1 Processus de branchement en temps continu 99
4.3.2 Processus de Markov et problème de Dirichlet (*) 100
4.3.3 Processus de Markov, générateur, et martingales (*) 101
5 Processus de Markov avec sauts sur un espace continu 103
5.1 Caractérisation, spécification, généralités 103
5.1.1 Mesures, fonctions, et opérateurs à noyau markovien 103
5.1.2 Propriété de Markov, marginales fini-dimensionnelles 105
5.1.3 Semi-groupe et générateur infinitésimal 107
5.2 Processus de Markov évoluant uniquement par sauts isolés 108
5.2.1 Semi-groupe, générateur infinitésimal, et loi d'évolution 108
5.2.2 Construction, simulation, existence 111
5.2.3 Équations de Kolmogorov, formule de Feynman-Kac 114
5.3 Processus de Markov évoluant selon une E.D.O. entre des sauts 117
5.3.1 Trajectoires, évolution, générateur intégro-différentiel 117
5.3.2 Construction, simulation, existence 120
5.3.3 Équations de Kolmogorov, formule de Feynman-Kac 123
5.3.4 Application aux équations cinétiques, extensions 124
5.4 Problèmes 130
5.4.1 Des échanges binaires d'énergie 130
5.4.2 Un processus avec accumulation de sauts 130
5.4.3 Une équation de Kac généralisée (*) 131
6 Discrétisation d'équations différentielles stochastiques 133
6.1 Quelques rappels de calcul stochastique d'Itô 133
6.1.1 Intégrales stochastiques et processus d'Itô 133
6.1.2 Formule d'Itô, existence et unicité de solutions d'E.D.S. 136
6.2 Les schémas d'Euler et de Milstein 138
6.3 Moments de Xt et de ses approximations 140
6.4 Vitesses de convergence en norme Lp (oméga) et p.s. 145
6.5 Méthode de Monte-Carlo pour des E.D.P. paraboliques 147
6.5.1 Principe de la méthode 147
6.5.2 Introduction à l'analyse de l'erreur 149
6.6 Le résultat optimal de vitesse de convergence 151
6.7 Extrapolations de Romberg-Richardson 156
6.8 Interprétation probabiliste et contrôle polynômial des dérivées 157
6.9 Problèmes 160
6.9.1 Comportement en temps long de l'erreur du schéma d'Euler 160
6.9.2 Schéma d'Euler implicite 161
6.9.3 Flot d'équation différentielle stochastique (*) 162
7 Réduction de variance et E.D.S. 165
7.1 Rappels sur le Théorème de Girsanov 165
7.2 Variables de contrôle 166
7.3 Réduction de variance pour les calculs de sensibilité 168
7.3.1 Le cas des conditions terminales f dérivables 168
7.3.2 Le cas des conditions terminales f non dérivables 169
7.4 Échantillonnage préférentiel 172
7.5 Méthode de Romberg statistique 175
7.6 Problèmes 176
7.6.1 Echantillonnage préférentiel pour les E.D.S. 176
7.6.2 Réduction de variance pour le calcul du delta d'une option 177
8 Algorithmes stochastiques 179
8.1 Introduction 179
8.2 Étude dans un cadre idéalisé 180
8.2.1 Définitions 180
8.2.2 Équation différentielle associée, accroissements de martingale 181
8.2.3 Comportement en temps long de l'algorithme 182
8.3 Réduction de variance pour méthode de Monte-Carlo 186
8.3.1 Recherche d'un échantillonage préférentiel 186
8.3.2 Réduction de variance et algorithmes stochastiques 188
8.4 Problèmes 190
8.4.1 Une méthode de Monte-Carlo adaptative 190
8.4.2 L'hypothèse b) du Théorème 8.2.4 192
8.4.3 Recherche de vecteur propre principal : algorithme d'Oja 193
Bibliographie 197
| | En ligne : | https://www.amazon.fr/Simulation-stochastique-m%C3%A9thodes-Monte-Carlo-Graham/d [...] | | Permalink : | ./index.php?lvl=notice_display&id=12699 |
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