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| Titre : | Théorie des probabilités : une introduction élémentaire | | Type de document : | texte imprime | | Auteurs : | Bernard Candelpergher ; Magali Ribot., Chorégraphe | | Mention d'édition : | 2e éd. | | Editeur : | Paris : Calvage & Mounet | | Année de publication : | DL 2013 | | Collection : | Mathématiques en devenir, ISSN 1951-5243 num. 110 | | Importance : | (XXI-479 p..) | | Présentation : | couv. ill. | | Format : | 25 cm | | ISBN/ISSN/EAN : | 978-2-916352-13-8 | | Note générale : | Bibliogr. p. 475-476. Index | | Langues : | Français | | Mots-clés : | Distribution (Théorie des probabilités) Probabilités | | Index. décimale : | 519.2 | | Résumé : | Une présentation synthétique, accompagnée d'exercices corrigés, des notions fondamentales de la théorie des probabilités. Adoptant le formalisme de la théorie de la mesure, l'ouvrage unifie le point de vue élémentaire des probabilités discrètes et des probabilités continues.
Doté d'une Histoire étoffée, et même d'une Préhistoire qui l'est presque autant, le Calcul des probabilités ne se réduit pas à une formulation imagée de la théorie de la Mesure et de l'Intégration. Il possède en effet ses tenants et aboutissants propres, façonnés par les glorieux fondateurs qui se sont succédé depuis l'époque de Blaise Pascal, Pierre de Fermat et Christian Huygens. L'ouvrage présent est une introduction élémentaire à la théorie moderne des probabilités dans l'esprit d'Andreï Nikolaïevitch Kolmogorov. L'auteur se propose d'emmener les débutants, mais aussi les connaisseurs, à la découverte des aspects essentiels de la théorie : la combinatoire des variables aléatoires finies qui débouche naturellement sur le cas discret, ainsi que les variables absolument continues qui bénéficient des résultats puissants en matière d'Intégration. Bernard Candelpergher n'hésite pas à multiplier les exemples pour rendre compte des modes mentaux propres à la théorie et pour en marquer les spécificités. Les notions d'indépendance et de conditionnement sont ainsi présentées d'une façon particulièrement lumineuse. Le formalisme adopté dans l'ouvrage est celui de la théorie de la mesure, ce qui permet d'unifier pratiquement le point de vue élémentaire des probabilités discrètes et celui des probabilités continues. L'auteur évite toutefois les raffinements trop ardus de la théorie, préférant renvoyer en appendice certains développements plus utiles. Les notions introduites sont illustrées dans de nombreux exercices corrigés, qui figurent à la fin de chaque chapitre. Le texte présente avec soin les grands théorèmes de la théorie, tels les lois des grands nombres ou le théorème central-limite, et offre une introduction motivée aux processus stochastiques et aux martingales. A l'heure où les classes préparatoires sont sur le point de franchir elles aussi, "elles enfin" dirons-nous, le pas vers la théorie indispensable des probabilités, le livre de Bernard Candelpergher arrive à point nommé pour donner tous les outils bien polis à tous les étudiants et à leurs professeurs. | | Note de contenu : | I. Probabilités et indépendance
1. Introduction 1
2. Ensemble des éventualités 2
2.1. Préliminaires 2
2.2. Relation entre le langage ordinaire et le langage ensembliste 4
2.3. Probabilité d'un événement 5
3. Trois types d'espaces probabilisés 7
3.1. Espace probabilisé fini 7
3.2. Espace probabilisé dénombrable 9
3.3. Espace probabilisé non dénombrable 10
4. Propriétés élémentaires 12
4.1. Passage au complémentaire 12
4.2. Réunion croissante et intersection décroissante 13
4.3. Inégalité de Boole 14
4.4. Formule de Poincaré 14
5. Probabilités conditionnelles 17
5.1. Un petit paradoxe 17
5.2. Définition 18
5.3. Formule des probabilités totales 21
5.4. Formule de Bayes 22
6. Indépendance 24
7. Quelques problèmes classiques 27
7.1. Trois cartes, une rouge et deux noires 27
7.2. Trois bancs à deux places 30
7.3 Partage avant la fin de la partie 31
7.4. L'aiguille de Buffon 34
8. Suites d'événements indépendants 36
8.1. Réunion d'événements indépendants 36
8.1.1. Cas d'une réunion finie 36
8.1.2. Cas d'une réunion infinie 37
8.1.3. Lemme de la série divergente 38
8.2. Lemme de Borel-Cantelli 39
9. Exercices 40
II. Mesures
1. Introduction 43
2. Algèbres de parties et tribus 44
2.1. Définitions 44
2.2. Tribu engendrée 46
3. Mesures 48
3.1. Définition d'une mesure 48
3.2. Opérations sur les mesures 51
3.3. Mesures discrètes 52
4. Construction de mesures 53
5. Mesure de Lebesgue 54
5.1. Mesure de Lebesgue sur (...) 54
5.2. Propriétés 54
5.3. Mesure de Lebesgue sur (...)n 54
6. Mesures et fonctions de répartition sur (...) 55
6.1. Fonction de répartition d'une mesure finie 55
6.2. Mesure de Stieltjes 57
6.3. Correspondance 58
6.4. Mesures discrètes et diffuses sur (...) 59
6.5. Décomposition d'une mesure finie sur (...) 60
7. Le jeu de pile ou face 62
7.1. Mesure de probabilité sur un espace de suites 62
7.2. Le jeu de pile ou face 63
7.3. Développement dyadique 64
8. Appendice 66
8.1. Définition d'une mesure par prolongement 66
8.2. Unicité du prolongement 66
9. Exercices 68
III. Variables aléatoires réelles
1. Introduction 73
2. Loi d'une variable aléatoire 74
3. Fonction de répartition d'une VA 77
4. Principales lois de probabilité 82
5. Loi conditionnelle 89
6. Simulation d'une VA de loi donnée 90
6.1. Fonction d'une variable aléatoire 91
6.2 Exemple de simulation d'une variable aléatoire X 92
6.3. Inverse de Lévy d'une fonction de répartition 93
6.4. La simulation par inverse de Lévy 95
7. Image d'une densité de probabilité 96
8. Exercices 97
IV. Intégrale et moments
1. Introduction 101
2. L'intégrale des fonctions mesurables 102
3. Moments d'une variable aléatoire réelle 107
3.1 Valeur moyenne ou espérance 107
3.2. Variance 112
4. Espérance conditionnelle par rapport à un événement 113
5. Inégalités classiques 115
5.1. Inégalités de Markov et Tchebychev 115
5.2. Inégalité de Jensen 116
5.3. Inégalité de Cramér-Rao 117
6. Formule de Taylor généralisée 118
7. Appendice 122
7.1. Fonctions mesurables 123
7.2. L'intégrale des fonctions mesurables 124
7.3. Permutation des signes lim, sigma et (...) 127
7.4. Intégrales dépendant d'un paramètre 128
7.5. Espace L1 (E) et L2 (E) 129
7.5.1. L'espace L1 (E) 129
7.5.2. L'espace L2 (E) 130
7.6. Intégrale par rapport à une mesure discrète 132
7.7. Mesures à densité 134
7.8. Le Théorème de transfert 135
7.9. Changement de variable dans (...)n 137
8. Exercices 140
V. Variables aléatoires à valeurs dans (...)n
1. Introduction 145
2. Mesure produit 146
3. Couple de deux variables aléatoires 149
4. Indépendance de deux variables aléatoires 155
4.1. Indépendance dans le cas discret 155
4.2. Indépendance dans le cas à densité 159
5. Convolution et régularisation 163
6. Changement de variables 169
7. Moyenne et matrice de covariance 170
8. Régression linéaire 173
9. Espérance et loi conditionnelle 174
9.1. L'espérance conditionnelle 174
9.1.1. Cas où X est discrète 178
9.1.2. Cas où le couple (X, Y) possède une densité 179
9.2. Loi conditionnelle 180
9.2.1. Cas où X est discrète 183
9.2.2. Cas où le couple (X, Y) possède une densité 184
10. Généralisation à la dimension n 187
10.1. Loi conjointe 187
10.2. Moyenne et variance 187
10.3. Indépendance 189
10.4. Régression linéaire 196
10.5. Espérance conditionnelle 197
10.6. Tribu engendrée par une VA 197
10.7. Lois conjointes et Inégalité de Bell 198
10.7.1. Retour sur la loi conjointe de deux VA 198
10.7.2. Loi conjointe de trois VA 200
10.7.3. Inégalité de Bell 202
11. Appendice 203
11.1. Produit de deux mesures de probabilité 203
11.2. Mesure produit sur l'espace des suites 205
12. Exercices 207
VI. Fonctions caractéristiques
1. Introduction 209
2. La fonction caractéristique 210
2.1. Définitions et propriétés 210
2.2. Fonction caractéristique d'une VA à valeurs dans un réseau 213
2.2.1. Cas où X est à valeurs dans alpha(...) 213
2.2.2. Cas général 214
2.3. Fonction caractéristique d'une VA à densité 215
2.4. La fonction ln (...X) et les cumulants 217
3. Fonction génératrice d'une VA à valeurs dans (...) 218
4. De la fonction caractéristique à la loi 222
4.1. Le Théorème d'inversion 222
4.2. Formules d'inversion 225
5. Généralisation à (...)n 230
5.1. Définitions et propriétés 230
5.2. Inversion 231
5.3. Fonction caractéristique et indépendance 232
5.4. Formule d'inversion 235
6. Exercices 236
VII. Variables gaussiennes
1. Introduction 239
2. Définitions et propriétés 239
3. Variables gaussiennes et indépendance 242
4. Réduction d'une variable gaussienne 246
5. Échantillons gaussiens 248
5.1. Moyenne et variance empiriques 249
5.2. Estimation de la moyenne d'une loi gaussienne de variance donnée 250
5.3. Estimation de la moyenne d'une loi gaussienne de variance inconnue 252
6. Exercices 257
VIII. Suites de variables aléatoires
1. Introduction 261
2. Convergence presque sûre 262
3. Convergence en probabilité 264
4. Convergence en loi 267
4.1. Définition et premières propriétés 267
4.2. Convergence des fonctions de répartition 271
4.3. Cas discret et à densité 274
4.4. Convergence fonctions caractéristiques 277
4.5. Généralisation à (...)m 281
5. Suites de VA indépendantes 282
5.1. Définition et existence 282
5.2. Simulation par la méthode du rejet 285
5.3. Propriétés asymptotiques 287
6. Appendice. Démonstration du Théorème de Lévy 290
7. Exercices 293
IX. Lois des grands nombres
1. Introduction 295
2. Loi faible des grands nombres 295
2.1. Loi faible des grands nombres dans L2 (Omega) 296
2.2. Loi faible dans L1 (Omega) 299
3. Loi forte des grands nombres 300
4. Théorème central-limite 311
4.1. Théorème central-limite dans (...) 311
4.2. Formule de Stirling généralisée 313
4.3. Estimation d'une probabilité 315
4.4. Une extension du théorème central limite 319
4.5. Convergence vers la loi de Poisson 322
4.6. Théorème central-limite dans (...)m 324
4.7. Développement d'Edgeworth 327
4.7.1. Le théorème central-limite pour les densités 328
4.7.2. Développement de Tchebychev-Hermite d'une densité 331
4.7.3. Développement d'Edgeworth d'une densité 333
5. Exercices 334
X. Introduction aux processus stochastiques
1. Introduction 339
2. Définitions 339
3. Marche aléatoire symétrique 342
3.1. Introduction 342
3.2. Passages par 0 343
3.3. Temps de passage 347
3.4. Grandes déviations 349
3.5. Probabilité de rester dans une bande donnée 351
4. Martingales discrètes 352
4.1. Jeu à mise variable 352
4.2. Martingales 354
4.3. Temps d'arrêt 355
5. Introduction heuristique au mouvement brownien 358
5.1. Définition 358
5.2. Mesure de Wiener 362
6. Processus de Poisson 365
6.1. Définitions 365
6.2. Lien avec la loi exponentielle 368
6.3. Autre caractérisation d'un processus de Poisson 368
7. Exercices 370
Solutions des exercices 377
1. Solutions des exercices du chapitre 1 377
2. Solutions des exercices du chapitre 2 384
3. Solutions des exercices du chapitre 3 390
4. Solutions des exercices du chapitre 4 395
5. Solutions des exercices du chapitre 5 403
6. Solutions des exercices du chapitre 6 410
7. Solutions des exercices du chapitre 7 415
8. Solutions des exercices du chapitre 8 423
9. Solutions des exercices du chapitre 9 428
10. Solutions des exercices du chapitre 10 435
Petit appendice mathématique
1. Notions ensemblistes 449
1.1. Parties d'un ensemble E 449
1.2. Produit d'ensembles 450
1.3. Applications de E dans F 450
1.4. Ensembles dénombrables 450
2. Dénombrement 452
2.1. Fonctions indicatrices 452
2.2. Formule du crible (ou principe d'inclusion-exclusion) 452
2.3. Combinatoire 453
3. Suites et séries 455
3.1. Suites 455
3.2. Séries 456
4. Fonctions d'une variable réelle 458
4.1. Usage des équivalents 458
4.2. Intégrale des fonctions continues 460
4.3. Suites et séries de fonctions 462
4.4. Séries entières 463
4.5. La fonction exponentielle et le Log 465
5. Algèbre linéaire dans (...)n 467
5.1. Orthogonalité et transposition 468
5.2. Diagonalisation 469
6. Espaces normés 470
6.1. Norme et convergence 470
6.2. Espace de Hilbert 471
7. Calcul différentiel dans (...) n 471
7.1. Topologie de (...) n 471
7.2. Différentielle et jacobienne 472
Bibliographie 475
Index 477
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Théorie des probabilités : une introduction élémentaire [texte imprime] / Bernard Candelpergher ; Magali Ribot., Chorégraphe . - 2e éd. . - Paris : Calvage & Mounet, DL 2013 . - (XXI-479 p..) : couv. ill. ; 25 cm. - ( Mathématiques en devenir, ISSN 1951-5243; 110) . ISBN : 978-2-916352-13-8 Bibliogr. p. 475-476. Index Langues : Français | Mots-clés : | Distribution (Théorie des probabilités) Probabilités | | Index. décimale : | 519.2 | | Résumé : | Une présentation synthétique, accompagnée d'exercices corrigés, des notions fondamentales de la théorie des probabilités. Adoptant le formalisme de la théorie de la mesure, l'ouvrage unifie le point de vue élémentaire des probabilités discrètes et des probabilités continues.
Doté d'une Histoire étoffée, et même d'une Préhistoire qui l'est presque autant, le Calcul des probabilités ne se réduit pas à une formulation imagée de la théorie de la Mesure et de l'Intégration. Il possède en effet ses tenants et aboutissants propres, façonnés par les glorieux fondateurs qui se sont succédé depuis l'époque de Blaise Pascal, Pierre de Fermat et Christian Huygens. L'ouvrage présent est une introduction élémentaire à la théorie moderne des probabilités dans l'esprit d'Andreï Nikolaïevitch Kolmogorov. L'auteur se propose d'emmener les débutants, mais aussi les connaisseurs, à la découverte des aspects essentiels de la théorie : la combinatoire des variables aléatoires finies qui débouche naturellement sur le cas discret, ainsi que les variables absolument continues qui bénéficient des résultats puissants en matière d'Intégration. Bernard Candelpergher n'hésite pas à multiplier les exemples pour rendre compte des modes mentaux propres à la théorie et pour en marquer les spécificités. Les notions d'indépendance et de conditionnement sont ainsi présentées d'une façon particulièrement lumineuse. Le formalisme adopté dans l'ouvrage est celui de la théorie de la mesure, ce qui permet d'unifier pratiquement le point de vue élémentaire des probabilités discrètes et celui des probabilités continues. L'auteur évite toutefois les raffinements trop ardus de la théorie, préférant renvoyer en appendice certains développements plus utiles. Les notions introduites sont illustrées dans de nombreux exercices corrigés, qui figurent à la fin de chaque chapitre. Le texte présente avec soin les grands théorèmes de la théorie, tels les lois des grands nombres ou le théorème central-limite, et offre une introduction motivée aux processus stochastiques et aux martingales. A l'heure où les classes préparatoires sont sur le point de franchir elles aussi, "elles enfin" dirons-nous, le pas vers la théorie indispensable des probabilités, le livre de Bernard Candelpergher arrive à point nommé pour donner tous les outils bien polis à tous les étudiants et à leurs professeurs. | | Note de contenu : | I. Probabilités et indépendance
1. Introduction 1
2. Ensemble des éventualités 2
2.1. Préliminaires 2
2.2. Relation entre le langage ordinaire et le langage ensembliste 4
2.3. Probabilité d'un événement 5
3. Trois types d'espaces probabilisés 7
3.1. Espace probabilisé fini 7
3.2. Espace probabilisé dénombrable 9
3.3. Espace probabilisé non dénombrable 10
4. Propriétés élémentaires 12
4.1. Passage au complémentaire 12
4.2. Réunion croissante et intersection décroissante 13
4.3. Inégalité de Boole 14
4.4. Formule de Poincaré 14
5. Probabilités conditionnelles 17
5.1. Un petit paradoxe 17
5.2. Définition 18
5.3. Formule des probabilités totales 21
5.4. Formule de Bayes 22
6. Indépendance 24
7. Quelques problèmes classiques 27
7.1. Trois cartes, une rouge et deux noires 27
7.2. Trois bancs à deux places 30
7.3 Partage avant la fin de la partie 31
7.4. L'aiguille de Buffon 34
8. Suites d'événements indépendants 36
8.1. Réunion d'événements indépendants 36
8.1.1. Cas d'une réunion finie 36
8.1.2. Cas d'une réunion infinie 37
8.1.3. Lemme de la série divergente 38
8.2. Lemme de Borel-Cantelli 39
9. Exercices 40
II. Mesures
1. Introduction 43
2. Algèbres de parties et tribus 44
2.1. Définitions 44
2.2. Tribu engendrée 46
3. Mesures 48
3.1. Définition d'une mesure 48
3.2. Opérations sur les mesures 51
3.3. Mesures discrètes 52
4. Construction de mesures 53
5. Mesure de Lebesgue 54
5.1. Mesure de Lebesgue sur (...) 54
5.2. Propriétés 54
5.3. Mesure de Lebesgue sur (...)n 54
6. Mesures et fonctions de répartition sur (...) 55
6.1. Fonction de répartition d'une mesure finie 55
6.2. Mesure de Stieltjes 57
6.3. Correspondance 58
6.4. Mesures discrètes et diffuses sur (...) 59
6.5. Décomposition d'une mesure finie sur (...) 60
7. Le jeu de pile ou face 62
7.1. Mesure de probabilité sur un espace de suites 62
7.2. Le jeu de pile ou face 63
7.3. Développement dyadique 64
8. Appendice 66
8.1. Définition d'une mesure par prolongement 66
8.2. Unicité du prolongement 66
9. Exercices 68
III. Variables aléatoires réelles
1. Introduction 73
2. Loi d'une variable aléatoire 74
3. Fonction de répartition d'une VA 77
4. Principales lois de probabilité 82
5. Loi conditionnelle 89
6. Simulation d'une VA de loi donnée 90
6.1. Fonction d'une variable aléatoire 91
6.2 Exemple de simulation d'une variable aléatoire X 92
6.3. Inverse de Lévy d'une fonction de répartition 93
6.4. La simulation par inverse de Lévy 95
7. Image d'une densité de probabilité 96
8. Exercices 97
IV. Intégrale et moments
1. Introduction 101
2. L'intégrale des fonctions mesurables 102
3. Moments d'une variable aléatoire réelle 107
3.1 Valeur moyenne ou espérance 107
3.2. Variance 112
4. Espérance conditionnelle par rapport à un événement 113
5. Inégalités classiques 115
5.1. Inégalités de Markov et Tchebychev 115
5.2. Inégalité de Jensen 116
5.3. Inégalité de Cramér-Rao 117
6. Formule de Taylor généralisée 118
7. Appendice 122
7.1. Fonctions mesurables 123
7.2. L'intégrale des fonctions mesurables 124
7.3. Permutation des signes lim, sigma et (...) 127
7.4. Intégrales dépendant d'un paramètre 128
7.5. Espace L1 (E) et L2 (E) 129
7.5.1. L'espace L1 (E) 129
7.5.2. L'espace L2 (E) 130
7.6. Intégrale par rapport à une mesure discrète 132
7.7. Mesures à densité 134
7.8. Le Théorème de transfert 135
7.9. Changement de variable dans (...)n 137
8. Exercices 140
V. Variables aléatoires à valeurs dans (...)n
1. Introduction 145
2. Mesure produit 146
3. Couple de deux variables aléatoires 149
4. Indépendance de deux variables aléatoires 155
4.1. Indépendance dans le cas discret 155
4.2. Indépendance dans le cas à densité 159
5. Convolution et régularisation 163
6. Changement de variables 169
7. Moyenne et matrice de covariance 170
8. Régression linéaire 173
9. Espérance et loi conditionnelle 174
9.1. L'espérance conditionnelle 174
9.1.1. Cas où X est discrète 178
9.1.2. Cas où le couple (X, Y) possède une densité 179
9.2. Loi conditionnelle 180
9.2.1. Cas où X est discrète 183
9.2.2. Cas où le couple (X, Y) possède une densité 184
10. Généralisation à la dimension n 187
10.1. Loi conjointe 187
10.2. Moyenne et variance 187
10.3. Indépendance 189
10.4. Régression linéaire 196
10.5. Espérance conditionnelle 197
10.6. Tribu engendrée par une VA 197
10.7. Lois conjointes et Inégalité de Bell 198
10.7.1. Retour sur la loi conjointe de deux VA 198
10.7.2. Loi conjointe de trois VA 200
10.7.3. Inégalité de Bell 202
11. Appendice 203
11.1. Produit de deux mesures de probabilité 203
11.2. Mesure produit sur l'espace des suites 205
12. Exercices 207
VI. Fonctions caractéristiques
1. Introduction 209
2. La fonction caractéristique 210
2.1. Définitions et propriétés 210
2.2. Fonction caractéristique d'une VA à valeurs dans un réseau 213
2.2.1. Cas où X est à valeurs dans alpha(...) 213
2.2.2. Cas général 214
2.3. Fonction caractéristique d'une VA à densité 215
2.4. La fonction ln (...X) et les cumulants 217
3. Fonction génératrice d'une VA à valeurs dans (...) 218
4. De la fonction caractéristique à la loi 222
4.1. Le Théorème d'inversion 222
4.2. Formules d'inversion 225
5. Généralisation à (...)n 230
5.1. Définitions et propriétés 230
5.2. Inversion 231
5.3. Fonction caractéristique et indépendance 232
5.4. Formule d'inversion 235
6. Exercices 236
VII. Variables gaussiennes
1. Introduction 239
2. Définitions et propriétés 239
3. Variables gaussiennes et indépendance 242
4. Réduction d'une variable gaussienne 246
5. Échantillons gaussiens 248
5.1. Moyenne et variance empiriques 249
5.2. Estimation de la moyenne d'une loi gaussienne de variance donnée 250
5.3. Estimation de la moyenne d'une loi gaussienne de variance inconnue 252
6. Exercices 257
VIII. Suites de variables aléatoires
1. Introduction 261
2. Convergence presque sûre 262
3. Convergence en probabilité 264
4. Convergence en loi 267
4.1. Définition et premières propriétés 267
4.2. Convergence des fonctions de répartition 271
4.3. Cas discret et à densité 274
4.4. Convergence fonctions caractéristiques 277
4.5. Généralisation à (...)m 281
5. Suites de VA indépendantes 282
5.1. Définition et existence 282
5.2. Simulation par la méthode du rejet 285
5.3. Propriétés asymptotiques 287
6. Appendice. Démonstration du Théorème de Lévy 290
7. Exercices 293
IX. Lois des grands nombres
1. Introduction 295
2. Loi faible des grands nombres 295
2.1. Loi faible des grands nombres dans L2 (Omega) 296
2.2. Loi faible dans L1 (Omega) 299
3. Loi forte des grands nombres 300
4. Théorème central-limite 311
4.1. Théorème central-limite dans (...) 311
4.2. Formule de Stirling généralisée 313
4.3. Estimation d'une probabilité 315
4.4. Une extension du théorème central limite 319
4.5. Convergence vers la loi de Poisson 322
4.6. Théorème central-limite dans (...)m 324
4.7. Développement d'Edgeworth 327
4.7.1. Le théorème central-limite pour les densités 328
4.7.2. Développement de Tchebychev-Hermite d'une densité 331
4.7.3. Développement d'Edgeworth d'une densité 333
5. Exercices 334
X. Introduction aux processus stochastiques
1. Introduction 339
2. Définitions 339
3. Marche aléatoire symétrique 342
3.1. Introduction 342
3.2. Passages par 0 343
3.3. Temps de passage 347
3.4. Grandes déviations 349
3.5. Probabilité de rester dans une bande donnée 351
4. Martingales discrètes 352
4.1. Jeu à mise variable 352
4.2. Martingales 354
4.3. Temps d'arrêt 355
5. Introduction heuristique au mouvement brownien 358
5.1. Définition 358
5.2. Mesure de Wiener 362
6. Processus de Poisson 365
6.1. Définitions 365
6.2. Lien avec la loi exponentielle 368
6.3. Autre caractérisation d'un processus de Poisson 368
7. Exercices 370
Solutions des exercices 377
1. Solutions des exercices du chapitre 1 377
2. Solutions des exercices du chapitre 2 384
3. Solutions des exercices du chapitre 3 390
4. Solutions des exercices du chapitre 4 395
5. Solutions des exercices du chapitre 5 403
6. Solutions des exercices du chapitre 6 410
7. Solutions des exercices du chapitre 7 415
8. Solutions des exercices du chapitre 8 423
9. Solutions des exercices du chapitre 9 428
10. Solutions des exercices du chapitre 10 435
Petit appendice mathématique
1. Notions ensemblistes 449
1.1. Parties d'un ensemble E 449
1.2. Produit d'ensembles 450
1.3. Applications de E dans F 450
1.4. Ensembles dénombrables 450
2. Dénombrement 452
2.1. Fonctions indicatrices 452
2.2. Formule du crible (ou principe d'inclusion-exclusion) 452
2.3. Combinatoire 453
3. Suites et séries 455
3.1. Suites 455
3.2. Séries 456
4. Fonctions d'une variable réelle 458
4.1. Usage des équivalents 458
4.2. Intégrale des fonctions continues 460
4.3. Suites et séries de fonctions 462
4.4. Séries entières 463
4.5. La fonction exponentielle et le Log 465
5. Algèbre linéaire dans (...)n 467
5.1. Orthogonalité et transposition 468
5.2. Diagonalisation 469
6. Espaces normés 470
6.1. Norme et convergence 470
6.2. Espace de Hilbert 471
7. Calcul différentiel dans (...) n 471
7.1. Topologie de (...) n 471
7.2. Différentielle et jacobienne 472
Bibliographie 475
Index 477
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