|
| Titre : | Analyse complexe | | Type de document : | texte imprime | | Auteurs : | Dolbeault, Pierre, Auteur | | Editeur : | Paris : Masson | | Année de publication : | 1990 | | Collection : | Maitrise de mathématiques pures | | Importance : | (VIII-242 p.) | | Présentation : | couv. ill. en coul. | | Format : | 24 cm + 1 erratum inséré | | ISBN/ISSN/EAN : | 978-2-225-81425-9 | | Note générale : | L'ouvrage porte par erreur l'ISSN : 0339-879X
Bibliogr. p. [237]. Index | | Langues : | Français | | Mots-clés : | Fonctions (mathématiques) Fonctions d'une variable complexe Fonctions holomorphes Fonctions de plusieurs variables complexe | | Index. décimale : | 51594 | | Résumé : |
L'ANALYSE MATHÉMATIQUE donne un ensemble de règles gouvernant la manipulation des limites et des infiniment petits : règles de changement de variables, règles d'interversion de limites, règles de dérivation sous le signe intégrale, etc. On ne peut toutefois réduire l'Analyse à cette gymnastique formelle sans perdre de vue ses objets principaux et le sens même de sa démarche. Dès le xvme siècle les séries ont été utilisées pour définir des fonctions nouvelles. Dans un langage moderne, l'Analyse démontre des théorèmes d'existence en formulant les problèmes dans des espaces complets convenables. Lorsqu'un résultat d'existence est précisé par un théorème d'unicité, alors, et seulement alors, la notion de solution approchée a un sens ; les algorithmes numériques de calcul des solutions approchées proviendront souvent de la démarche antérieure de l'Analyste.
L'évolution des systèmes mécaniques est gouvernée par le principe du minimum d'action.
Plus généralement l'Analyse permet de définir des fonctions remarquables : celles qui réalisent le minimum de fonctionnelles naturelles. Les propriétés de ces fonctions extrémales pourront être déduites alors des équations aux variations de la fonctionnelle associée.
Les lois élémentaires de conservation de la Physique ne permettent pas de décrire un phénomène complexe. Toutefois la formulation infinitésimale de ces lois peut conduire à des équations aux dérivées partielles. L'Analyse, en établissant l'existence globale des solutions de ces équations, ainsi que leurs propriétés, apportera un outil pour passer de l'infinitésimal au global. Le calcul des probabilités sur un nombre fini n d'événements, est souvent équivalent à des
problèmes de combinatoire. Lorsque n tend vers l'infini, des lois limites simples apparaissent.
Là où l'on ne trouvait que le contingent et l'enchevêtrement d'énumérations fastidieuses, le passage à la limite fera apparaître des fonctions régulières justiciables des méthodes de calcul de l'Analyse. Ces points de vue seront mis en évidence dans ce cours, destiné à des étudiants de licence
ou de maîtrise, et qui comportera quatre volumes de 100 à 200 pages chacun :
— Topologie et Analyse fonctionnelle ;
— Intégration, Probabilités, Analyse de Fourier et Analyse Spectrale ;
— Calcul différentiel ;
— Analyse complexe.
Chaque volume sera écrit de telle sorte qu'il puisse être lu de façon indépendante.
P. MALLIAVIN | | Note de contenu : |
Avant-propos 1
1. Fonctions holomorphes ; théorèmes de Cauchy 5
1. Fonctions holomorphes 5
2. Formes différentielles de degré 1 et 2, chaînes différentiables de dimension 0,1 et 2 ; formule
de Stokes 12
3. Théorème de Cauchy 23
4. Indice d'un cycle de dimension 1 27
5. Formule intégrale de Cauchy 28
6. Surfaces de Riemann 34
2. Propriétés des fonctions holomorphes 39
0. Séries entières convergentes ....... . 39
1. Développement en série de Taylor d'une fonction holomorphe 42
2. Application : théorème d'identité ; inégalités de Cauchy ; théorème de Liouville ;
problème du d" dans un disque ouvert 43
3. Principe du maximum ; lemme de Schwarz 47
4. Développement en série de Laurent 49
5. Résidus ; théorème des résidus 54
6. Applications : zéros et pôles d'une fonction méromorphe ; calculs d'intégrales par la
méthode des résidus 58
3. Espace des fonctions holomorphes sur un ouvert de C, transformations conformes 65
1. Convergence d'une suite de fonctions holomorphes 65
2. Suite exhaustive de compacts d'un ouvert D de R2 ; théorème de Stieljes—Vitali—Montel 68
3. Topologie de l'espace des fonctions continues sur un ouvert D de C ; espace des fonctions holomorphes sur D 69
4. Séries et produits infinis dans un ouvert D de C 72
5. Applications holomorphes, transformations conformes 79
6. Représentation conforme 82
4. Approximation des fonctions holomorphes sur un compact. Construction de fonctions méromorphes à singularités données 88
1. Théorème de Runge 88
2. Problème du d" dans un ouvert D de C 93
3. Théorème de Mittag—Leffler dans un ouvert de C 94
4. Théorème de Weierstrass dans un ouvert D de C 95
5. Surfaces de Riemann étalées 99
1. Homéomorphismes locaux ; revêtements topologiques 99
2. Morphismes de surfaces de Riemann 105
3. Faisceaux 110
4. Prolongement analytique 115
5. Groupe fondamental ; revêtement universel 118
6. Surface de Riemann d'une fonction algébrique 126
VIII TABLE DES MATIÈRES
6. Surfaces de Riemann compactes 134
1. Cohoraologie à valeur dans un faisceau 135
2. Théorème de finitude 142
3. Théorème de Riemann—Roch 147
4. Fonctions harmoniques dans un ouvert D de C 152
5. Formes différentielles harmoniques sur une surface de Riemann 157
6. Formes différentielles abéliennes ; théorème d'Abel 164
7. Fibres holomorphes en droites 171
8. Dualité de Serre et applications 175
7. Fonctions holomorphes de plusieurs variables 184
1. Préliminaires 184
2. Fonctions holomorphes sur Q 185
3. Formule intégrale de Cauchy 187
4. Séries entières convergentes 189
5. Applications de la formule de Cauchy 194
6. Introduction au problème du d" ; 199
7. Espace des fonctions holomorphes 203
8. Singularités apparentes 205
8. Etude locale des fonctions et des ensembles analytiques 209
0. Introduction : fonctions analytiques 209
1. Théorème de division ; théorème de préparation de Weierstrass 210
2. Algebres analytiques ; noethérianité 211
3. Factorialité de K{X} 213
4. Germes de fonctions et d'ensembles analytiques en un point 214
5. Propriétés des algèbres analytiques 215
6. Structure locale d'un ensemble analytique 218
7. Points singuliers et dimension d'un ensemble analytique 220
8. Cas des ensembles analytiques complexes (K = C) 222
9. Théorème des zéros de Hilbert (K = C) 223
Appendice : Variétés différentielles ; formes différentielles ; chaînes différentiables 224
1. Variétés différentielles 224
2. Différentielles en un point 226
3. Fibre cotangent ; formes différentielles de degré 1 227
4. Formes différentielles sur X 229
5. Variétés orientables ; variétés orientées ; intégrale d'une forme différentielle de degré
maximum 231
6. Image réciproque par une application différentiable ; différentielle extérieure ; chaînes
différentiables 233
Bibliographie 237
Index alphabétique des matières , « 239
| | En ligne : | http://pierre.dolbeault.free.fr/Book/P_Dolbeault_Analyse_Complexe.pdf | | Permalink : | ./index.php?lvl=notice_display&id=12361 |
Analyse complexe [texte imprime] / Dolbeault, Pierre, Auteur . - Paris : Masson, 1990 . - (VIII-242 p.) : couv. ill. en coul. ; 24 cm + 1 erratum inséré. - ( Maitrise de mathématiques pures) . ISBN : 978-2-225-81425-9 L'ouvrage porte par erreur l'ISSN : 0339-879X
Bibliogr. p. [237]. Index Langues : Français | Mots-clés : | Fonctions (mathématiques) Fonctions d'une variable complexe Fonctions holomorphes Fonctions de plusieurs variables complexe | | Index. décimale : | 51594 | | Résumé : |
L'ANALYSE MATHÉMATIQUE donne un ensemble de règles gouvernant la manipulation des limites et des infiniment petits : règles de changement de variables, règles d'interversion de limites, règles de dérivation sous le signe intégrale, etc. On ne peut toutefois réduire l'Analyse à cette gymnastique formelle sans perdre de vue ses objets principaux et le sens même de sa démarche. Dès le xvme siècle les séries ont été utilisées pour définir des fonctions nouvelles. Dans un langage moderne, l'Analyse démontre des théorèmes d'existence en formulant les problèmes dans des espaces complets convenables. Lorsqu'un résultat d'existence est précisé par un théorème d'unicité, alors, et seulement alors, la notion de solution approchée a un sens ; les algorithmes numériques de calcul des solutions approchées proviendront souvent de la démarche antérieure de l'Analyste.
L'évolution des systèmes mécaniques est gouvernée par le principe du minimum d'action.
Plus généralement l'Analyse permet de définir des fonctions remarquables : celles qui réalisent le minimum de fonctionnelles naturelles. Les propriétés de ces fonctions extrémales pourront être déduites alors des équations aux variations de la fonctionnelle associée.
Les lois élémentaires de conservation de la Physique ne permettent pas de décrire un phénomène complexe. Toutefois la formulation infinitésimale de ces lois peut conduire à des équations aux dérivées partielles. L'Analyse, en établissant l'existence globale des solutions de ces équations, ainsi que leurs propriétés, apportera un outil pour passer de l'infinitésimal au global. Le calcul des probabilités sur un nombre fini n d'événements, est souvent équivalent à des
problèmes de combinatoire. Lorsque n tend vers l'infini, des lois limites simples apparaissent.
Là où l'on ne trouvait que le contingent et l'enchevêtrement d'énumérations fastidieuses, le passage à la limite fera apparaître des fonctions régulières justiciables des méthodes de calcul de l'Analyse. Ces points de vue seront mis en évidence dans ce cours, destiné à des étudiants de licence
ou de maîtrise, et qui comportera quatre volumes de 100 à 200 pages chacun :
— Topologie et Analyse fonctionnelle ;
— Intégration, Probabilités, Analyse de Fourier et Analyse Spectrale ;
— Calcul différentiel ;
— Analyse complexe.
Chaque volume sera écrit de telle sorte qu'il puisse être lu de façon indépendante.
P. MALLIAVIN | | Note de contenu : |
Avant-propos 1
1. Fonctions holomorphes ; théorèmes de Cauchy 5
1. Fonctions holomorphes 5
2. Formes différentielles de degré 1 et 2, chaînes différentiables de dimension 0,1 et 2 ; formule
de Stokes 12
3. Théorème de Cauchy 23
4. Indice d'un cycle de dimension 1 27
5. Formule intégrale de Cauchy 28
6. Surfaces de Riemann 34
2. Propriétés des fonctions holomorphes 39
0. Séries entières convergentes ....... . 39
1. Développement en série de Taylor d'une fonction holomorphe 42
2. Application : théorème d'identité ; inégalités de Cauchy ; théorème de Liouville ;
problème du d" dans un disque ouvert 43
3. Principe du maximum ; lemme de Schwarz 47
4. Développement en série de Laurent 49
5. Résidus ; théorème des résidus 54
6. Applications : zéros et pôles d'une fonction méromorphe ; calculs d'intégrales par la
méthode des résidus 58
3. Espace des fonctions holomorphes sur un ouvert de C, transformations conformes 65
1. Convergence d'une suite de fonctions holomorphes 65
2. Suite exhaustive de compacts d'un ouvert D de R2 ; théorème de Stieljes—Vitali—Montel 68
3. Topologie de l'espace des fonctions continues sur un ouvert D de C ; espace des fonctions holomorphes sur D 69
4. Séries et produits infinis dans un ouvert D de C 72
5. Applications holomorphes, transformations conformes 79
6. Représentation conforme 82
4. Approximation des fonctions holomorphes sur un compact. Construction de fonctions méromorphes à singularités données 88
1. Théorème de Runge 88
2. Problème du d" dans un ouvert D de C 93
3. Théorème de Mittag—Leffler dans un ouvert de C 94
4. Théorème de Weierstrass dans un ouvert D de C 95
5. Surfaces de Riemann étalées 99
1. Homéomorphismes locaux ; revêtements topologiques 99
2. Morphismes de surfaces de Riemann 105
3. Faisceaux 110
4. Prolongement analytique 115
5. Groupe fondamental ; revêtement universel 118
6. Surface de Riemann d'une fonction algébrique 126
VIII TABLE DES MATIÈRES
6. Surfaces de Riemann compactes 134
1. Cohoraologie à valeur dans un faisceau 135
2. Théorème de finitude 142
3. Théorème de Riemann—Roch 147
4. Fonctions harmoniques dans un ouvert D de C 152
5. Formes différentielles harmoniques sur une surface de Riemann 157
6. Formes différentielles abéliennes ; théorème d'Abel 164
7. Fibres holomorphes en droites 171
8. Dualité de Serre et applications 175
7. Fonctions holomorphes de plusieurs variables 184
1. Préliminaires 184
2. Fonctions holomorphes sur Q 185
3. Formule intégrale de Cauchy 187
4. Séries entières convergentes 189
5. Applications de la formule de Cauchy 194
6. Introduction au problème du d" ; 199
7. Espace des fonctions holomorphes 203
8. Singularités apparentes 205
8. Etude locale des fonctions et des ensembles analytiques 209
0. Introduction : fonctions analytiques 209
1. Théorème de division ; théorème de préparation de Weierstrass 210
2. Algebres analytiques ; noethérianité 211
3. Factorialité de K{X} 213
4. Germes de fonctions et d'ensembles analytiques en un point 214
5. Propriétés des algèbres analytiques 215
6. Structure locale d'un ensemble analytique 218
7. Points singuliers et dimension d'un ensemble analytique 220
8. Cas des ensembles analytiques complexes (K = C) 222
9. Théorème des zéros de Hilbert (K = C) 223
Appendice : Variétés différentielles ; formes différentielles ; chaînes différentiables 224
1. Variétés différentielles 224
2. Différentielles en un point 226
3. Fibre cotangent ; formes différentielles de degré 1 227
4. Formes différentielles sur X 229
5. Variétés orientables ; variétés orientées ; intégrale d'une forme différentielle de degré
maximum 231
6. Image réciproque par une application différentiable ; différentielle extérieure ; chaînes
différentiables 233
Bibliographie 237
Index alphabétique des matières , « 239
| | En ligne : | http://pierre.dolbeault.free.fr/Book/P_Dolbeault_Analyse_Complexe.pdf | | Permalink : | ./index.php?lvl=notice_display&id=12361 |
|  |
Ajouter le résultat dans votre panier Faire une suggestion Affiner la recherche Interroger des sources externesAnalyse complexe / Dolbeault, Pierre (1990)
